По мнению Кантора, особенность, определяющая вещественные числа, заключается в том, что каждой фундаментальной последовательности соответствует вещественное число, и наоборот, каждому вещественному числу соответствует фундаментальная последовательность. Другими словами, каждое вещественное число определяется фундаментальной последовательностью. В приведенном выше примере последовательность определяет, разумеется, число π.
Не следует путать все вышесказанное со взаимно однозначным соответствием между фундаментальными соответствиями и вещественными числами, потому что, хотя каждой последовательности соответствует только одно вещественное число, на самом деле разные последовательности могут соответствовать одному и тому же числу. Например, последовательность 3,1; 3,141; 3,14159; 3,1415926; 3,141592653; ..., которая получается, если прибавлять каждый раз по два знака числа π, — это другая последовательность по сравнению с предыдущей, но она тоже соответствует числу π.
Откуда же тогда нам известно, что существует число 0,110001000000000000000001000..., то есть число Лиувилля? Как мы можем убедиться, что это действительно вещественное число? (Кронекер, напомним, так не считал.) По Кантору, достаточно показать, что ему соответствует фундаментальная последовательность. В данном случае это 0,1; 0,11; 0,110001;... Существование этой фундаментальной последовательности гарантирует существование числа.
Теперь рассмотрим, как определение Кантора выражает мысль о том, что каждой точке числовой оси соответствует вещественное число.
Числа 0 и 1 наносятся на прямую произвольно, но после этого позиции вещественных чисел строго определены. Предположим, у нас есть точка Р, для которой мы не подобрали никакого соответствующего рационального числа (см. рисунок 13). Как мы можем доказать, что этой точке соответствует число (разумеется, рациональное)?
Возьмем последовательность точек, которые соответствуют рациональным точкам и постепенно все больше приближаются к Р. Они образуют фундаментальную последовательность, которой будет соответствовать вещественное число, и оно же будет соответствовать точке Р. На рисунке 13 представлен пример, где точка Р соответствует числу π.
РИС. 13
Однако, по мнению Кантора (и тут мы подходим к идее бесконечности), еще одним фундаментальным свойством континуума является тот факт, что он несчетен (множество счетно, если эквивалентно натуральным числам). В серии из шести статей, опубликованных с 1879 по 1882 год в Mathematische Annalen, среди прочих вопросов о бесконечных множествах он рассмотрел альтернативные определения континуума, в которых несчетность являлась одной из его основных характеристик.
Тот факт, что точки отрезка образуют несчетное множество, позволяет решить парадокс Аристотеля. Если отрезок состоит из точек, то, поскольку у каждой точки нулевая длина, общая длина отрезка должна составить 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0. Сколько нулей мы складываем? Ответ: бесконечное количество нулей; но какова мощность этой бесконечности?
Когда мы пишем 0 + 0 + 0 + 0 +..., мощность складываемых нулей равна ******** ..., то есть она такая же, как у натуральных чисел. Мы складываем счетное количество нулей! Сумма счетного количества нулей действительно равна нулю, поэтому континуум не может быть счетным.
Но у несчетных сумм свои правила, которые отличаются от правил счетных сумм, и интересно, что сумма несчетного количества нулей может быть больше нуля. Таким образом, как говорил Кантор, мы видим, что различие между счетностью и несчетностью имеет решающее значение в определении вещественных чисел и, следовательно, в исчислении. Но картина еще не завершена. Почему в заголовке статьи, в которой Кантор дает определение вещественным числам, упоминаются «тригонометрические ряды»? Что это такое и какую роль они сыграли в развитии научной мысли Кантора? Об этом — в следующей главе.
ГЛАВА 4
Бесконечные ординальные числа
В 1883 году Георг Кантор опубликовал статью «Основы общего учения о многообразиях», которая стала кульминацией его математического творчества. В ней он впервые дал определение множеству бесконечных чисел, которые назвал ординальными. Зерно идей, изложенных в этой работе, уже присутствовало в статье, которую Кантор написал десятью годами ранее, но для того чтобы полностью развить их, ему требовалось преодолеть интеллектуальные предубеждения своей эпохи.
В подходе к математике Георга Кантора и Рихарда Дедекинда было много общего. В частности, оба соглашались с необходимостью ввести в нее понятие множества. Но что это такое — «понятие теории множеств»?