Но вернемся к самому блестящему периоду в карьере Кантора, к статье «Основы общего учения о многообразиях» 1883 года. История ее создания началась еще в 1869 году, когда Георг Кантор приехал в Галле и в качестве темы исследования Эдуард Гейне предложил ему задачу, связанную с тригонометрическими рядами Фурье. Что такое тригонометрический ряд? Представим себе закрепленную сверху пружину, к нижнему концу которой подвешен определенный груз. Исходное положение пружины на рисунке 1 обозначено буквой А. Теперь потянем груз вниз, пока не достигнем положения ß, и отпустим его. Пружина расширится и сожмется, пройдя через точки С, Д Е и F, а также через все промежуточные. Предположим, что перед нами идеальная ситуация, и пружина никогда не перестанет двигаться и всегда будет возвращаться в положение максимального сжатия (D на рисунке 1) и максимального растягивания (В и F). Если мы соединим последовательные положения пружины кривой линией, то получим математическое описание ее движения (см. рисунок 2). Заметим, что поскольку груз несколько раз проходит через одни и те же точки, график повторяется.
Магнус Гёста Миттаг-Леффлер родился в Стокгольме (Швеция) 16 марта 1846 года. Его талант проявился уже в ранней юности; у него было много интересов, среди которых — наука и литература. В1865 году он записался в Уппсальский университет (опять же в Швеции), намереваясь стать государственным чиновником, но вскоре перешел на математический факультет и в 1872 году защитил докторскую диссертацию. Миттаг-Леффлер внес большой вклад в область исчисления, в аналитическую геометрию, теорию вероятностей, теорию функций; он был членом почти всех математических обществ Европы и получил несколько званий почетного доктора наук в таких университетах, как Оксфордский, Кембриджский, Болонский и университет Осло. В 1882 году он основал журнал Acta Mathematica, который курировал до самой смерти 7 июля 1927 года. Журнал издается до сих пор.
В таком случае его называют периодическим. В XVIII веке математики обратили внимание на то, что очень многие физические явления — например, связанные с распространением звука или тепла — могут быть описаны при помощи периодических графиков. Они также заметили, что иногда эти графики оказываются прерывистыми, то есть в них наблюдаются резкие скачки. Например, на рисунке 3 представлен график, состоящий из последовательности косых линий. Чтобы изобразить его, мы должны отметить «скачок» от верхнего края каждой линии к нижнему краю следующей. Этот график описывает не физическое движение, а интенсивность звукового сигнала; горизонтальная линия обозначает нулевую интенсивность или тишину. Рассмотрим, как можно интерпретировать график при этих условиях. В начале — тишина, а затем появляется звуковой сигнал, который постепенно увеличивает интенсивность (это видно по тому, как возрастает первая косая линия); звук достигает своей максимальной интенсивности, а затем наступает тишина, но тут же опять начинает увеличиваться интенсивность звука, как в предыдущий раз, и снова достигает максимального уровня (мы видим, что вторая косая линия такая же, как первая). Опять наступает тишина, а затем повторяется та же схема, снова и снова.
РИС.1
РИС. 2
РИС. 3