Итак, мы видим, что 'P(N) эквивалентно множеству всех чисел между 0 и 1. Но в главе 3 отмечалось, что оно эквивалентно R (любой отрезок эквивалентен всей прямой); таким образом, мы выводим, что 'P(N) эквивалентно R. Наконец, на вопрос, какова же мощность 'P(N), в 1892 году Кантор ответил, что она равна мощности R.
Взаимно однозначное соответствие между вещественными числами (в промежутке от 0 до 1) и множествами, состоящими из вещественных чисел.
Рассмотрим еще одну операцию из области трансфинитной математики.
Вернемся к последовательностям нуля и единицы, но теперь рассмотрим только конечные. Сколько таких последовательностей мы можем образовать, если в них должно быть только две цифры? Всего четыре последовательности: 00, 01, 10 и 11. Если цифр три, то их будет восемь: 000, 001, 010, 100, 110, 101,011, 111, а если цифр всего четыре, то 16. Если цифра одна, то последовательностей будет только две: 0 и 1.
Итак, у нас есть 21 последовательности из одной цифры, 22 последовательности из двух цифр, 23 последовательности из трех цифр и так далее. Логично было бы предположить, что мощность последовательностей из «X0 цифр» будет равна 2X0. Действительно, в «Обоснованиях» Кантор дает определение возведению мощностей в степень и основывает его на понятии, которое он назвал покрытием. Когда мы составляем бесконечную последовательность из нуля и единицы, утверждает Кантор, мы покрываем каждый элемент N нулем или единицей.
Ответить на вопрос, какова мощность множества всех бесконечных последовательностей, состоящих из 0 и 1, — значит покрыть N, используя два этих элемента. Всего способов «покрытия» чисел 0, 1 и 2 с использованием двух элементов — 23; покрытия чисел 0, 1, 2 и 3 — 24, значит, как писал Кантор, по определению, мощность всех способов покрытия N двумя элементами равна 2X0 . К тому же, поскольку множество всех последовательностей нуля и единицы эквивалентно R, мы можем заключить, что и мощность R равна 2X0 . Поэтому континуум-гипотезу можно сформулировать и как вопрос «равно ли 2X0 X1 ?».
Если бы мы покрывали N тремя элементами, то получили бы мощность 3X0; другими словами, множество всех бесконечных последовательностей 0, 1 и 2 имеет мощность 3X0. Но не стоит путаться. Сперва можно подумать, что 3X0 больше 2X0 , однако это не так. На самом деле 2X0 = 3X0. Чтобы доказать это, достаточно увидеть, что множество последовательностей нуля и единицы эквивалентно множеству последовательностей 0,1 и 2. За этим доказательством стоит идея, что поскольку последовательности нуля и единицы могут рассматриваться как числа, записанные в двоичной системе, таким же образом и последовательности 0, 1 и 2 могут быть представлены как числа, записанные в троичной системе. Таким образом, соответствие между двумя множествами устанавливается посредством изменения системы исчисления.
Исходя из определения степени мощностей, мы можем сказать, что, поскольку мощность ординальных чисел второго класса равна X1? для этих ординальных чисел существует 2X1 возможных покрытий; также, хотя и кажется очевидным, что 2X1 больше 2X0 , это еще не было доказано. Подчеркнем, что данное утверждение действительно нуждается в доказательстве. Мы не можем просто сказать, что поскольку X1 больше X0 , то и 2X1 обязательно больше 2X0 , — мы ведь уже видели, что хотя 3 и больше 2, при этом X13 не больше 2X0 . Отсюда следует: когда речь идет о бесконечности, то, что кажется само собой разумеющимся, не всегда верно. Как мы можем представить покрытие ординальных чисел второго класса? Заметим, что если дано количество X1 ординальных чисел второго класса, то каждое из его покрытий будет иметь X1 цифр, то есть по цифре на ординал.
У покрытий ординалов второго класса более сложная структура, чем у N. Чтобы определить покрытие N, достаточно просто сказать, что оно «начинается с 01 и продолжается, повторяя эти цифры». Эта фраза полностью описывает покрытие 010101..., поскольку, пользуясь этим единственным правилом, мы знаем, какой цифрой — 0 или 1 — покрывать каждое натуральное число.
Но этого определения недостаточно для полного описания покрытия ординальных чисел второго класса, так как они устроены сложнее, чем натуральные числа. Ординалы второго класса начинаются с ω, ω + 1, ω + 2, ..., после бесконечного числа этапов переходят κω + ω,ω + ω+ 1,ω + ω + 2,..., после бесконечных переходов — к ω + ω + ω... и после бесконечного числа бесконечных переходов — κω + ω + ω + ω... (ω, взятому бесконечное число раз), ω + ω + ω + ω... (ω, взятое бесконечное число раз) + 1... и так далее.