Окружности, сферы, цилиндры и конусы очаровывали первых геометров, но при этом они считали, что работать с ними гораздо труднее, чем с треугольниками, прямоугольниками, квадратами, кубами и прочими прямолинейными формами, составленными из кусков прямых линий и плоскостей. Ученых интересовали площади криволинейных поверхностей и объемы криволинейных тел, но они понятия не имели, как решать такие задачи. Криволинейность была сильнее.
Анализ начинался как отрасль геометрии[28]. Примерно в 250 году до нашей эры в Древней Греции вплотную занялись разгадкой кривых. Амбициозный план состоял в использовании бесконечности для построения моста между кривыми и прямыми. Приверженцы плана надеялись, что как только такая связь будет установлена, методы и техники прямолинейной геометрии можно будет перетащить через этот мост и применить для решения загадки кривых. Бесконечность поможет решить все старые задачи. По крайней мере, таков был настрой.
Должно быть, в то время такой план выглядел довольно надуманным. У бесконечности была сомнительная репутация – будто бы это нечто пугающее, а не полезное. Что еще хуже, само понятие бесконечности было весьма туманно и сбивало с толку. Что это вообще такое? Число? Место? Идея?
Тем не менее, как мы вскоре увидим, бесконечность оказалась манной небесной. Если учесть все открытия и технологии, которые в итоге выросли из анализа, то идея использовать бесконечность для решения трудных геометрических задач была одной из лучших в истории.
Конечно, в 250 году до нашей эры предвидеть это было невозможно. Тем не менее бесконечность тут же дала несколько впечатляющих результатов. Одним из первых и лучших стало решение давней загадки: как найти площадь круга[29].
Доказательство с помощью пиццы
Перед тем как вдаваться в подробности, давайте набросаем ход рассуждений. Наша стратегия – представить круг в виде пиццы, а затем нарезать ее на бесконечное множество кусочков и волшебным образом переложить их так, чтобы получился прямоугольник. Это даст нам ответ, который мы ищем, поскольку перекладывание кусочков, очевидно, не меняет их площадь, а находить площадь прямоугольника мы умеем: нужно умножить его длину на ширину. Результатом будет формула для площади круга.
Для такого рассуждения пицца должна быть идеализированной математической пиццей – идеально плоской и круглой, с бесконечно тонкой корочкой. Обозначим буквой С ее периметр (или длину окружности) – расстояние вдоль границы. Длина окружности – вовсе не то, что обычно интересует любителей пиццы, однако при желании мы могли бы измерить величину C с помощью рулетки.
Еще одна необходимая величина – радиус пиццы r, который определяется как расстояние от ее центра до любой точки корочки. В частности, если мы нарежем пиццу на ломтики, проводя разрезы от центра к краям, то длина прямого отрезка в таких ломтиках будет равна r.
Предположим, что мы разделили пиццу на четыре части. Их можно переложить следующим способом, но он не выглядит слишком многообещающим.
Получившаяся фигура с выступами вверху и внизу смотрится несколько странно. Это явно не прямоугольник, и определить ее площадь непросто. Похоже, нам придется отступить. Но, как и в любой драме, герою перед триумфом предстоит преодолеть трудности. Драматическое напряжение нарастает.
Однако раз уж мы тут застряли, то отметим две вещи, потому что они будут справедливы в ходе всего доказательства и в итоге дадут нам размеры искомого прямоугольника. Первая – одна половина корочки стала искривленной верхней границей новой фигуры, а вторая – нижней частью. Поэтому длина верхней границы равна C/2 и нижней границы – тоже C/2, как изображено на рисунке. Как мы увидим, в итоге эти границы превратятся в длинные стороны прямоугольника. Вторая – длина всех наклонных боковых сторон получившейся фигуры равна r, потому что это просто стороны исходных ломтиков пиццы. Эти боковые отрезки в итоге превратятся в короткие стороны прямоугольника.
Причина, по которой мы пока не видим никаких признаков искомого прямоугольника, – у нас еще недостаточно ломтиков. Если разрезать пиццу на восемь частей и переложить их таким же образом, то фигура окажется более прямоугольной.
По сути, пицца начинает походить на параллелограмм. Неплохо – по крайней мере это почти прямоугольник. Выступы вверху и внизу уже не так выпирают, как на предыдущем рисунке, – из-за большего количества ломтиков. Как и ранее, длина верхней границы фигуры равна C/2, а боковой границы – r.
28
Смотрите раздел 4.5 в книге Burton, History of Mathematics; главы 2 и 3 в книге: Katz, History of Mathematics; главу 4 в книге Stillwell, Mathematics and Its History.
29
Katz, History of Mathematics, раздел 1.5, представляет различные подходы к измерению площади круга, сделанные в различных мировых культурах. Первое доказательство было представлено Архимедом; смотрите Dunham, Journey Through Genius, глава 4, и Heath, The Works of Archimedes, 91–93.