В эпилоге рассказа о встрече с Фейнманом Воук писал, что в течение четырнадцати лет даже не пытался заняться анализом. Его роман разросся до двух больших романов – «Ветры войны» и «Война и память», примерно по тысяче страниц каждый. После окончания работы над ними он попытался учиться по книгам с названиями типа «Анализ в легком изложении», но безуспешно. Он копался в нескольких учебниках в надежде, как он выразился, «найти то, что помогло бы математическому невежде вроде меня, который в колледже занимался гуманитарными науками, то есть литературой и философией, в подростковом поиске смысла существования; при этом я лишь знал, что анализ (о котором я слышал как о скучной и бесполезной вещи) – это язык, на котором говорит Бог»[7]. Однако учебники оказались неприступными, и тогда он нанял израильского преподавателя математики, чтобы подучиться анализу и подтянуть разговорный иврит, но обе надежды опять не оправдались. Вконец отчаявшись, он стал слушать курс анализа в старших классах школы, но почувствовал, что сильно отстал, и сдался через пару месяцев. Когда он уходил, дети хлопали. Он сказал, что это было похоже на сочувствующие аплодисменты после провального выступления на сцене.
Я написал «Бесконечные силы», пытаясь сделать величайшие идеи матанализа доступными каждому. Чтобы узнать об этих эпохальных событиях в истории, вам незачем повторять печальный опыт Германа Воука. Анализ – одно из самых вдохновляющих достижений человечества, и чтобы оценить его, вовсе не обязательно им заниматься – как необязательно уметь готовить изысканные блюда, чтобы насладиться такой едой. Я постараюсь объяснить все, что нам надо, с помощью картинок, метафор и анекдотов, а также покажу вам некоторые самые красивые из когда-либо созданных уравнений и доказательств, ведь разве можно посетить галерею, не увидев ее шедевров? Что касается Германа Воука, то на момент написания книги ему было 103 года[8]. Я не знаю, выучил ли он анализ, но если еще нет, то она для вас, мистер Воук!
Как вам уже, должно быть, понятно, я собираюсь изложить историю и значение анализа с точки зрения прикладного математика. Историк математики рассказал бы все иначе[9], собственно, как и чистый математик. Что восхищает меня как прикладника – так это наличие связи между реальным миром вокруг нас и идеальным миром в наших головах. Внешние явления обусловливают вопросы, которые мы задаем, и наоборот, математика, которую мы воображаем, иногда предсказывает то, что произойдет в реальности. Когда такое случается, эффект просто поражает.
Заниматься прикладной математикой[10] – значит смотреть вовне и быть «интеллектуально неразборчивым». Для специалистов в этой области математика не чистый и герметичный мир теорем и доказательств[11], отражающих самих себя. Мы охватываем все виды предметов: философию, политику, историю, медицину и так далее. Именно такую историю я и собираюсь вам рассказать – мир, соответствующий анализу.
Это гораздо более широкий взгляд на анализ. Он включает множество родственных дисциплин, как смежных, так и в рамках математики. Поскольку такой широкий взгляд непривычен, я хочу убедиться, что он не вызывает никакой путаницы. Например, когда я говорил, что без анализа у нас не было бы компьютеров, мобильных телефонов и так далее, я вовсе не имел в виду, что именно математика сама по себе создала все эти чудеса. Отнюдь нет. Наука и технология были важными партнерами – возможно, главными звездами шоу. Я просто хочу сказать, что анализ также сыграл не последнюю роль (пусть часто и вспомогательную) в том, чтобы мир стал таким, каким мы его знаем.
Возьмем историю беспроводной связи. Все началось с открытия законов электричества и магнетизма[12] такими учеными, как Майкл Фарадей и Андре-Мари Ампер. Без их наблюдений и размышлений важнейшие факты о магнитах, электрическом токе и их невидимых силовых полях остались бы неизвестными и никогда бы не появилась беспроводная связь. Очевидно, что в этой области знаний нельзя было обойтись без экспериментальной физики, но и анализ был совершенно необходим. В 1860-х годах шотландский математик Джеймс Максвелл выразил экспериментальные законы электричества и магнетизма в символьной форме, которую можно было изучать методами математического анализа. После некоторых манипуляций появилось уравнение, которое не имело смысла. Судя по всему, в физике чего-то не хватало. Максвелл подозревал, что виноват закон Ампера, и попытался внести исправления, добавив в уравнение новый член – гипотетический ток, который мог бы разрешить противоречие, а затем снова применил анализ. На этот раз получился разумный результат – простое и элегантное волновое уравнение[13], очень похожее на уравнение, описывающее распространение ряби в пруду. Разница была в том, что результат Максвелла давал новый вид волн, где электрические и магнитные поля вместе исполняли па-де-де. Изменяющееся электрическое поле порождает изменяющееся магнитное поле, которое, в свою очередь, снова порождает изменяющееся электрическое поле, и так далее – поля влияют друг на друга и распространяются вместе в виде энергетической волны. Вычислив скорость этой волны, Максвелл обнаружил – и это был один из величайших моментов в истории науки, – что она распространяется со скоростью света. Таким образом, с помощью анализа он не только предсказал существование электромагнитных волн, но и решил вековую загадку природы света. Он пришел к выводу, что свет – это электромагнитная волна.
9
Исторические аспекты проблемы представлены в книгах: Boyer, The History of the Calculus, и Grattan-Guinness, From the Calculus. Dunham, The Calculus Gallery; Edwards, The Historical Development; и Simmons, Calculus Gems, которые рассказывают историю анализа на примере некоторых наиболее красивых задач и их решений.
10
Stewart, In Pursuit of the Unknown; Higham et al., The Princeton Companion; и Goriely, Applied Mathematics, передают дух, широту и практичность прикладной математики.
11
Kline, Mathematics in Western Culture, и Newman, The World of Mathematics, соединяют математику с более широкой культурой. Я провел много времени в старших классах, читая эти два шедевра.
12
О математике и физике смотрите Maxwell, On Physical Lines of Force, и Purcell, Electricity and Magnetism. О понятиях и истории смотрите Kline, Mathematics in Western Culture, 304–21; Schaffer, The Laird of Physics; и Stewart, In Pursuit of the Unknown, глава 11. Биографию Максвелла и Фарадея смотрите в книге: Forbes and Mahon, Faraday, Maxwell.