Имре Лакатос
Бесконечный регресс и основания математики
ВВЕДЕНИЕ
[Скептическая философия в течение более двух тысяч лет учила, что невозможно достичь как определенно (conclusively) установленных значений, так и определенно установленных истин. Но установление значения и истины в математике ― как раз цель "оснований".] Классический скептический довод базировался на бесконечном регрессе. Можно попытаться связать значение термина, определяя его в других терминах (это ведет к бесконечному регрессу) или путем определения его в "совершенно известных терминах". Однако действительно ли три термина в выражении "совершенно известные термины" совершенно известные термины? Нетрудно заметить, что и в этом случае возникает недуг бесконечного регресса. Каким образом тогда философия математики всё же утверждает, что в математике есть или должны быть точные понятия? Каким образом она надеется обойти скептический критицизм? Как может она заявлять, что выдвинуты основания математики ― логицистские, метаматематические и интуиционистские? И даже допуская "точные" понятия, как можем мы доказать, что суждение истинно? Каким образом можем мы обойти бесконечный регресс в определениях? Значение и истина могут лишь передаваться, а не устанавливаться. Но если так, как мы можем знать?
Противоречие между догматиками, заявляющими, что мы можем знать, и скептиками, заявляющими, что мы не можем знать или, по крайней мере, не можем знать, что и когда мы можем знать, ― основной вопрос эпистемологии. Обсуждая современные усилия установить основания математики, как правило, забывают, что они не более чем часть громадных усилий преодолеть скептицизм при установлении основания вообще знания. Цель моей статьи показать, что современная философия математики настолько глубоко внедрена в общую эпистемологию, что не может быть понята вне ее контекста. Вот почему первый параграф должен содержать злободневную историю эпистемологии. Респектабельные историки иногда говорят, что предпринятый здесь вид "рациональной реконструкции" является карикатурой реальной истории ― того, что действительно происходило, но с равным правом можно было бы сказать, что как история, так и то, что действительно происходило, ― лишь карикатуры рациональной реконструкции.
1. Останавливая бесконечный регресс в науке
Скептики используют бесконечный регресс, чтобы показать тщетность поиска оснований знания. Точно так же, как и их догматические оппоненты, они принадлежат к числу эпистемологических джастификационистов (justificationists), т.е. их главная проблема состоит в ответе на вопрос "каким образом мы знаем?", и, как и их оппоненты, они думают, что были вынуждены отступить в тенеты "я не знаю" из-за отсутствия твердых оснований знания и истины. Они заключают, что рациональные усилия достичь знания беспомощны, наука и математика софистичны и иллюзорны. Так что для рационализма становится жизненно важным остановить эту раздражающую пару бесконечных регрессов и обрести для знания твердую почву. В попытках достичь этого сложились три грандиозные рационалистические программы: 1) евклидианская программа, 2) эмпирицистская программа, 3) индуктивистская программа.
Все три программы исходят из организации знания как дедуктивной системы. Базисная дефиниционная характеристика дедуктивной системы (не обязательно формальной) ― принцип ретротрансляции (retransmission) ложности "снизу вверх", от заключений к посылкам: контрпример заключению будет контрпримером по отношению хотя бы одной из посылок. Если имеет место принцип передачи ложности, значит, действует принцип передачи истинности от посылок к заключениям. Мы не требуем, однако, от дедуктивной системы, чтобы она передавала ложность посылок к заключениям и истинность от заключений к посылкам.
1) Я называю дедуктивную систему евклидианской теорией, если высказывания, составляющие ее верхушку (аксиомы), состоят из общеизвестных терминов (терминов-примитивов) и если эта верхушка в отношении своих истинностных значений получает истину в качестве непогрешимого (infallible) истинностного значения, истину, которая течет вниз по дедуктивным каналам передачи истинности (доказательствам) и наполняет всю систему. (Если истинностное значение наверху системы было бы ложью, то, конечно же, в системе не было бы потока истинностного значения.) Так как евклидианская программа предполагает, что всё знание может быть дедуцировано из конечного множества тривиально истинных высказываний, состоящих только из терминов с тривиальной смысловой нагрузкой, я буду называть её также программой тривиализации знания*.[1] Поскольку евклидианская теория содержит лишь несомненно истинные высказывания, она не работает ни с предположениями, ни с опровержениями. В евклидианской теории, если она полностью разработана, значение, как и истина, вводится в верхушку теории и без какой-либо деформации по сохраняющим значения каналам номинальных определений стекает от терминов-примитивов к определяемым терминам (аббревиатурам и, стало быть, теоретически излишним). Евклидианская теория eo ipso*[2] внутренне непротиворечива, ибо все высказывания, оказывающиеся в ней, истинны, а совокупности истинных высказываний, разумеется, непротиворечивы.
1
*Locus classicus (букв.: классическое место, здесь: классическое) описание этой программы может быть найдено у Паскаля (Pascal, 1657-1658).