Эмпирицистская теория, однако, должна пройти строгие проверки. Как могли бы мы проверить расселовскую логику? Все истинные базовые предложения ― разрешимые фрагменты арифметики и логики ― выводимы в ней, и таким образом она, по-видимому, не имеет потенциальных фальсификаторов. Так что единственный способ критики этой своеобразной эмпирицистской теории ― проверить ее на непротиворечивость. Это ведет нас к гильбертовскому кругу идей.
3. Остановка бесконечного регресса за счет тривиальной метатеории
Гильбертовская*[25] метаматематика была "замыслена, чтобы раз и навсегда положить конец скептицизму" (Ramsey, 1926, р. 68). Таким образом, ее цель была та же, что и у логицизма:
"Приходится принять, ― писал Гильберт в 1926 г., ― что ситуация, в которую мы попали из-за парадоксов, нетерпима. Давайте представим: в математике, в этой парадигме достоверности и истины, наиболее общая формация понятий и выводов, которые учатся, изучаются и используются, ведет к абсурдностям. Но если даже математика терпит неудачу, где же нам искать достоверность и истину? Есть, однако, удовлетворительный метод обойти парадоксы".
Гильбертовская теория базируется на идее формальной аксиоматики. Гильберт утверждал, что: а) все формально доказанные арифметические высказывания ― арифметические теоремы ― будут с достоверностью истинными, если формальная система непротиворечива, т.е. если А и не-А не являются одновременно теоремами; б) все арифметические истины могут быть формально доказаны; в) метаматематика, эта новая ветвь математики, устанавливаемая, чтобы доказывать непротиворечивость и полноту формальных систем, будет особым случаем евклидианской теории ― "финитной" теорией с тривиально истинными аксиомами, содержащими только совершенно общеизвестные термины, и с тривиально безопасными выводами. "Установлено, что принципы, используемые в метаматематическом доказательстве того, что аксиомы математики не ведут к противоречиям, настолько очевидно истинные, что не позволяют сомневаться в себе даже скептикам" (Ramsey, 1926, р. 68). Метаматематическое доказательство ― это "конкатенация самоочевидного интуитивного (inhaltlich) проникновения" (Neumann, 1927, р. 2). Арифметические истины ― и ввиду уже совершенной арифметизации математики все виды математических истин ― будут покоиться на твердой, тривиальной, "глобальной" интуиции и таким образом, как говорил Гильберт, на "абсолютной достоверности" (Гильберт, 1948, с.391).
Решающим препятствием на пути этой надежды на евклидианскую метаматематику явилась вторая теорема Гёделя. Бесконечный регресс в доказательстве не может иссякнуть в "финитной" тривиальной метатеории: доказательства непротиворечивости должны содержать достаточно изощренности, чтобы представить спорной непротиворечивость теории, в которой они проводятся, и, следовательно, они не могут не быть погрешимыми. Например, предположение Гольдбаха о том, что любое четное число есть сумма двух простых чисел, формально могло бы быть доказано завтра, но мы никогда не узнаем, что оно истинно. Ибо оно было бы истинно, только если метаматематика, метаметаматематика и т.д. до бесконечности были бы непротиворечивы. Этого мы никогда не познаем. Формализация может дать сбой, и наша аксиоматическая система может оказаться совсем без модели.
На второй сбой, который может дать формальная теория, указывает первая теорема Гёделя: если формальная теория имеет модель, то она имеет больше моделей, чем подразумевается (intended). В непротиворечивой формальной теории мы можем доказывать те и только те высказывания, которые истинны во всех моделях, так что мы не можем формально доказать высказывания, которые истинны в подразумеваемой модели и ложны в неподразумеваемой модели. Первая теорема Гёделя показывает, что селективность формальных систем, включающих арифметику, хронически плохая, ибо никакая непротиворечивая формализация арифметики не позволяет "отстроиться" от неподразумеваемых моделей, существенно отличных от подразумеваемой модели.[26] Следовательно, в любой непротиворечивой формализации найдутся формально недоказуемые арифметические истины. Если предположение Гольдбаха истинно в его подразумеваемой интерпретации, но ложно в неподразумеваемой интерпретации, то в какой-либо формализации не будет формального доказательства, ведущего к нему.
25
*Д. Гильберт (1862-1893). Его биографии посвящена книга: Рид К. Гильберт. С приложением обзора Г. Вейля математических трудов Гильберта. М.: Наука, 1977.
26
Мы использовали здесь терминологию Кемени: "Две модели существенно различны, если существуют предложения, истинные в одной, но ложные в другой" (Kemeny, 1958, р. 164).