Не было еще евклидианской теории, которая устояла бы перед лицом скептической критики. Причем наиболее чувствительные доводы против математического догматизма исходили из мучительных сомнений самих догматиков: "Действительно ли мы достигли терминов-примитивов? Действительно ли мы достигли аксиом? Действительно ли наши каналы сохраняют истинность?" Эти вопросы играли решающую роль в великой работе, предпринятой Фреге и Расселом, чтобы вернуться к еще более фундаментальным первым принципам, нежели аксиомы арифметики Пеано.*[16] Я сконцентрирую особое внимание на подходе Рассела и покажу, как потерпела неудачу его исходная евклидианская программа, каким образом он был отброшен назад к индуктивизму и каким образом он предпочел сбиться с пути, чем признать и принять тот факт, что интересное в математике предположительно.
Главная проблема философии Рассела ― спасти Знание от скептиков. "Скептицизм, являясь логически непогрешимым, психологически неприемлем; во всякой философии, которая намерена принять его, присутствует элемент легкомысленного лукавства" (Russell, 1948, p. 9).*[17]В юности он пытался избежать скептицизма с помощью далеко идущей евклидианской программы. Его "философское развитие"*[18] было постоянным и постепенным отступлением от евклидианизма, храбрым сражением за каждый дюйм оставляемой территории и попытками спасти столько достоверности, сколько можно.
Интересно вспомнить оптимизм его ранних планов. Рассел полагал, что прежде чем "распространять сферу достоверности на другие науки", он обязан добиться "совершенной математики, не оставляющей места сомнению" (Russell, 1959, p. 36). Для этого придется "опровергнуть математический скептицизм" (ibid, р. 209) и таким образом сохранить евклидианский плацдарм для организации дальнейшего общего наступления. Таким образом, отправным пунктом философской карьеры Рассела было упрочение математики в качестве евклидианского плацдарма.
Он нашел математические доказательства поразительно ненадежными. "Подавляющая часть аргументации, которую мне было велено принять, была очевидно ошибочной" (ibid, р. 209). И он не был удовлетворен достоверностью аксиом ― геометрических и арифметических. Он отдавал себе полный отчет в скептической критике интуиции: раз и навсегда лейтмотивом его публикаций была борьба со "смешением психологически субъективного и логически априорного" (Russell, 1895, р. 245). Каким образом можно установить, что вводы истины сверху в теорию неоспоримы? Разбирая эту проблему, он проанализировал одну за другой аксиомы геометрии и арифметики и обнаружил, что они основываются на различных видах интуиции. В своей первой опубликованной статье (1896) Рассел проанализировал с этой точки зрения аксиомы евклидовой геометрии и нашел, что некоторые из аксиом с достоверностью истинны и в особенности a priori истинны, ибо "их отрицание влечет логические и философские несообразности" (Russell, 1896, р. 3). Он, например, квалифицировал как априорную истину гомогенность пространства, ибо "отсутствие гомогенности и пассивности абсурдно; философы, насколько я знаю, никогда не испытывали сомнений в этих двух свойствах пустого пространства: действительно, они по всей видимости вытекают из максимы, что ничего не может воздействовать на ничто… Мы должны, следовательно, на чисто философских основаниях принять это как аксиому, например, как аксиому конгруэнтности" (ibid, р. 4). С другой стороны, он квалифицировал аксиому о трехмерности пространства как эмпирическую, правда, он утверждал, что её достоверность почти настолько же велика, как если бы она была априорной истиной (ibid, р. 14). Эта аксиома, однако, "логически не необходима" [курсив мой. ― И.Л.] и только "предположительно её очевидность может быть извлечена из интуиции" (ibid, р. 23).
Итак, Рассел пытался установить иерархию априорных истин, "математических верований", геометрических или арифметических. Он "прочитывал книги, стараясь найти такую, которая представляла бы более твердую основу для них" (Russell, 1959, р. 209). Таким образом, он наткнулся на Фреге.*[19] Он сразу же признал решение Фреге ― извлечь всю математику из тривиальных логических принципов. Арифметическая интуиция была выброшена в мусорную корзину для отслуживших детривиализованных тривиальностей, разделив судьбу механической и геометрической интуиции, в то время как воцарилась логическая интуиция, причем не просто как "интуиция", но как непогрешимое интеллектуальное проникновение, как супертривиальная суперинтуиция. Арифметическая тривиализация математики была развенчана и замещена её логической тривиализацией.
16
*В 1889 г. Г. Пеано предложил аксиоматизацию арифметики натуральных чисел, ставшую потом предметом ряда уточнений и формализации. Рассел следующим образом оценивал работы Пеано: "Великим учителем в искусстве формального рассуждения является в наше время итальянец Пеано, профессор Туринского университета. Он привел большую часть математики (со временем это удастся ему и его последователям относительно всей математики) к точной символической форме, в которой совершенно отсутствуют слова. В обыкновенных математических книгах, без сомнения, и теперь меньше слов, чем желательно многим читателям. Однако время от времени встречаются маленькие фразы, как-то: поэтому, предположим, рассмотрим. Но и эти слова исключены проф. Пеано. Например, если мы хотим изучить всю совокупность арифметики, алгебры и анализа… мы должны исходить их трех слов. Один символ обозначает нуль, другой ― число, третий ― следующий за" (Рассел, 1913, с. 86-87).