Чтобы по достоинству оценить этот шаг, нам надо рассмотреть то особое место, которое занимает логическая интуиция. Евклидианцы развенчивали один за одним интуитивные источники ввода истины в теорию сверху, находимые (принимаемые) своими предшественниками. Открытие иррациональных чисел заставило древних греков отказаться от пифагорейской арифметической интуиции в пользу евклидианской геометрической интуиции: арифметика должна была быть переведена в кристально ясную геометрию. Чтобы завершить этот перевод, они разработали свою сложную "теорию пропорций". "Проясняя понятие иррационального числа", XIX в. переключился опять на арифметическую интуицию как на доминантную. Позднее за эту роль конкурировали канторовская теоретико-множественная интуиция, расселовская логическая интуиция, гильбертовская "глобальная" интуиция и интуиция "конструктивистов" брауэровского толка.*[20] В ходе этой баталии логическая интуиция играла особую роль: ибо всякий, кто выигрывал битву за аксиомы, вынужден был полагаться на логическую интуицию как на переносчика истины с верхушки теории к остальным ее частям. Даже эмпирицисты, которые громили в науке интуицию верхнего уровня (в то время как защищали интуицию снизу, фактуальную интуицию), должны были полагаться на тривиально надежную логику, позволяющую транслировать их опровержение вверх. Если критицизм мыслится определяющим, он должен наносить смертоносный удар, обеспеченный неопровержимой логикой. Особый статус логической интуиции объясняет, почему даже архипротивники интуиции не перечисляли логическую интуицию под рубрикой "интуиции" вообще ― ибо они нуждались в логической интуиции, чтобы критиковать другие виды интуиции. Но если догматик любой программы ― евклидианец любой деноминации, индуктивист, эмпирицист ― нуждается в тривиальной, поистине непогрешимой логической интуиции, то показать, что вся математика не нуждается в какой-либо другой интуиции, кроме логической, будет действительно огромной победой: как для аксиом, так и для трансляции истинности останется только один источник достоверности.
Логическая интуиция, однако, должна была первой сделаться автономной, должна была очиститься от внешних интуиций. В классической евклидианской теории каждый релевантный шаг должен был оправдываться специальной аксиомой. Любое положение формы "A влечет B" или, скорее, "A с очевидностью влечет B" должно рассматриваться в качестве независимо истинного. Картезианская логика содержит неопределенную бесконечность тематически зависимых аксиом. Рассел предусмотрел полноправную логику, состоящую из нескольких специальных тривиальных "тематически нейтральных" аксиом. Он вначале не осознавал то, что если логика должна стать сверхтривиальной евклидианской дедуктивной системой, она должна содержать, с одной стороны, сверхтривиальные аксиомы, а с другой ― сверхсверхтривиальную логику логики, содержащую в себе специальные правила передачи истины. "Вся чистая математика ― арифметика, анализ и геометрия ― строится путем комбинаций примитивных идей логики, и её предложения выводятся из общих аксиом логики, т.е. из силлогизма и других правил вывода" (Russell, 1901, р. 76; Рассел, 1913, с. 84). Эти аксиомы теперь будут действительно тривиально истинны, сияя несомненностью в естественном свете чистого логического разума, "краеугольными камнями, скрепленными в вечный фундамент, доступный человеческому разуму, но несмещаемый им" (Frege, 1893, р. XVI). Термины, оказывающиеся в них, будут действительно совершенно ясными логическими терминами. Словарь будет состоять лишь из двух тривиальных терминов: отношение и класс. "Если вы хотите стать арифметиком, вам надо знать, что эти идеи значат". Но нет ничего более легкого. "Придется допустить, что то, что математик должен знать, начинается с немногого" (Russell, 1901, р. 78-79; Рассел, 1913, с. 87). В этот период ― за месяц или за два до открытия его парадокса ― он думал, что безусловная евклидизация математики обеспечена и скептицизм навсегда повержен: "Во всей философии математики, которая бывала по меньшей мере настолько же полна сомнений, насколько всякая другая область философии, порядок и достоверность заменили путаницу и колебание, которые раньше царствовали" (ibid, р. 79-80; там же, с. 88).
20
*Теоретико-множественная интуиция требуется, чтобы оперировать с первичными понятиями канторовской (наивной) теории множеств. "Под множеством, ― писал Кантор, ― мы понимаем любое объединение в одном целом М определенных вполне различаемых объектов m из нашего восприятия или мысли" {Кантор Г. Теория множеств. М.: Наука, 1985. С. 173). Глобальная интуиция ― это минимальная интуиция, необходимая для работы с формальной системой. Она нужна для того, чтобы решить, "совпадают ли два рассматриваемых символа или нет" (Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. С. 319). Касаясь интуиции "брауэровского толка", С. Клини, сам сторонник интуиционизма, пишет, что, согласно Брауэру, "для математики не остается никакого другого источника, кроме интуиции, которая с непосредственной ясностью помещает перед нашими глазами математические понятия и выводы… Анализируя идею натурального ряда чисел, мы видим, что она может быть основана на возможности, во-первых, рассматривать какой-либо предмет или опыт как данный нам независимо от всего остального мира, во-вторых, отличать одно такое рассмотрение от другого и, в-третьих, представить себе неограниченное повторение процесса" (Клини, 1957, с. 52).