Над этой проблемой работали также такие математики XVIII века, как Г.С. Клюгель (1739–1812), И.Г. Ламберт (1728–1777), А.Г. Кестнер (1719–1800). Но самым выдающимся математиком среди взявшихся за решение проблемы, возникшей в связи с аксиомой Евклида о параллельных прямых, был Гаусс. Он прекрасно знал о безуспешных попытках доказать или опровергнуть аксиому о параллельных, ибо такого рода сведения не составляли секрета для геттингенских математиков. Историю проблемы параллельных досконально знал учитель Гаусса – Кестнер. Много лет спустя (в 1831 году) Гаусс сообщил своему другу Шумахеру, что еще в 1792 году, когда Гауссу было всего 15 лет, он понял возможность существования логически непротиворечивой геометрии, в которой постулат Евклида о параллельных прямых не выполняется.
Но еще более значительный вклад, чем Гаусс, в создании неевклидовой геометрии внесли два других математика: Николай Лобачевский и Янош Бойаи. В действительности их работы стали своего рода эпилогом длительного развития новаторских идей, высказанных их предшественниками, однако, поскольку Лобачевский и Бойаи первыми опубликовали дедуктивное изложение новой системы, их принято считать создателями неевклидовой геометрии.
Янош Бойаи (1802–1860) был офицером австро-венгерской армии. Свою работу (объемом в 26 страниц) по неевклидовой геометрии под названием «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида, что a priori никогда решено быть не может, с прибавлением, к случаю ложности геометрической квадратуры круга» Бойаи опубликовал в качестве приложения к первому тому латинского сочинения своего отца «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики». Эта книга вышла в свет в 1831–1832 гг., после первых публикаций Лобачевского 1829–1830 гг. Бойаи, по-видимому, разработал свои идеи о неевклидовой геометрии уже в 1825 году и убедился, что новая геометрия непротиворечива. В письме к отцу от 23 ноября 1823 года Бойаи сообщает: «Я совершил столь чудесные открытия, что не могу прийти в себя от восторга».
Гаусс, Лобачевский и Бойаи поняли, что аксиома Евклида о параллельных не может быть доказана на основе девяти остальных аксиом и что для обоснования евклидовой геометрии необходимо принять какую-то дополнительную аксиому о параллельных прямых. А поскольку дополнительная аксиома не зависит от остальных, то, во всяком случае, логически вполне допустимо принять противоположное ей утверждение – и далее выводить следствие из новой аксиомы.
С чисто математической точки зрения содержание работ Гаусса, Лобачевского и Бойаи просто. Ограничимся лишь рассмотрением варианта неевклидовой геометрии, предложенного Лобачевским, так как все трое сделали по существу одно и то же. Русский математик допускает сначала, что через точку можно провести несколько прямых параллельных данной прямой. Кроме этой все другие аксиомы Евклида он сохраняет. Из этой гипотезы он выводит ряд теорем, между которыми нельзя указать никакого противоречия, и строит геометрию, непогрешимая логика которой ни в чем не уступает евклидовой геометрии. Теоремы, конечно, весьма отличаются от тех, к которым мы привыкли, и на первый взгляд кажутся несколько странными.
Например:
– Сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых углов; разность между этой суммой и двумя прямыми углами пропорциональна площади треугольника.
– Невозможно построить фигуру, подобную данной, но имеющую другие размеры.
– Если разделить окружность на n разных частей и провести в точках деления касательные, то эти n касательных образуют многоугольник, если радиус окружности достаточно мал; но если этот радиус достаточно велик, они не встретятся.
Не станем множить число этих примеров; теоремы Лобачевского не имеют никакого отношения к евклидовым, это так называемая «воображаемая геометрия», но они логически связаны между собой.
Итак, геометрия Лобачевского включает в себя геометрию Евклида не как частный, а как особый случай. В этом смысле первую можно назвать обобщением геометрии нам известной. Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем не действует постулат Евклида. Свойства этого пространства в настоящее время уясняются при допущении существования четвертого измерения. Но этот шаг сделан уже последователями Лобачевского.
Естественно возникает вопрос, где же находится такое пространство. Ответ на него был дан крупнейшим физиком ХХ века Альбертом Эйнштейном. Основываясь на работах Лобачевского и постулатах Римана, он создал теорию относительности, подтвердившую искривленность нашего пространства.