На примере формы тела у рыб близких родов [Diodon (А) и Qrthagoriscus (Б)] д' Арси Томпсон показал, что изменение формы можно описать с помощью соответствующего преобразования системы координат
Мы сделали первый шаг — заключили форму живого организма в систему координат, и не только форму, но и ее изменения. Как мы видели, это не просто, но тем не менее с помощью современной вычислительной техники можно добиться хороших результатов. Итак, в ЭВМ ввели параметры живого организма; она ждет приказа! Что с ними делать? Кое-что мы уже наметили. Машина должна, например, выяснить, насколько интересующий нас организм родствен какому-либо другому. Предположим, что получено число, которое соответствует расстоянию между двумя точками в фазовом пространстве и тем самым позволяет рассчитать степень родства двух организмов. ЭВМ должна установить, к какому виду, к какой расе и с какой вероятностью относится организм, форма которого характеризуется данными параметрами. Она должна высчитать, какую форму должен был бы иметь еще не открытый палеонтологами организм, который по своему геологическому возрасту, с одной стороны, старше, а с другой — моложе уже известных организмов. При этом может выясниться, что форма В произошла не от формы А, а возникла параллельно. Не так уж плохо! Однако в начале главы мы ставили перед собой более смелую задачу — найти ответ на вопрос: почему организм имеет ту или иную форму?
Вернемся к нашей исходной точке зрения, а именно к положению, что организм представляет собой систему, достигшую оптимальности в процессе борьбы за существование, и выясним, насколько применима здесь теория оптимальных процессов. В чем состоит суть этого метода? Это старая и в то же время новая отрасль математики. Старая, потому что данные методы возникли не сегодня, и новая — потому что внедрение и использование их на практике стало возможным только в век совершенных счетных машин. Началом теории оптимальных процессов можно считать формулу, которую свыше двухсот лет назад вывел великий математик Леонард Эйлер. Но предпосылки к созданию этой теории были заложены много раньше.
Излюбленной задачей в курсе дифференциального исчисления в вузах является следующая: "У хозяина есть материал для забора общей длиной l, которым он должен огородить прямоугольный сад со сторонами х и у. Рассчитать, при каком соотношении сторон площадь сада будет наибольшей". Решение этой задачи несложно.
Площадь S прямоугольника рассчитывается по формуле S = xy, где x и y — его стороны. Общую длину забора, т. е. периметр сада, обозначим l, тогда l = 2x + 2y, или х + у — l/2; у = l/2 — х. Заменив в формуле площади y этим выражением, получаем
Эта формула позволяет рассчитать площадь S в зависимости от длины стороны x. Такую зависимость можно представить графически; соответствующая кривая показана на рисунке. Если сторона x очень мала, сторона y, согласно вышеприведенной формуле, должна приблизительно равняться. l/2. Сад превращается в узкое полотно с маленькой площадью. То же получается, когда x велико; x не может быть больше l/2, ибо в этом крайнем случае не хватило бы материала на другие стороны забора и сад состоял бы из двух параллельных заборов, не огораживающих никакой площади. Как подсказывает логика, кривая достигает максимума посередине, а именно в точке, где x принимает значение l/4. Легко подсчитать, что у также должен равняться l/4, следовательно, самую большую площадь имеет квадратный сад. Каждый студент знает, что положение максимума рассчитывается при помощи так называемой первой производной, в данном случае площади S по x. Эта математическая операция позволяет получить новое соотношение, характеризующее наклон функции S в каждой точке x : dS/dx = l/2 — 2x.
Парабола показывает, как изменяется площадь сада с заданной длиной забора l при изменении длины одной из сторон (например, x). Наклон этой параболы равен ее первой производной dS/dx (прямая линия). Точке пересечения прямой с осью x соответствует максимальное значение площади. Длина стороны x наибольшего по площади (квадратного) сада равна l/4
Максимум значения S находится в той точке, где наклон кривой равен нулю, т. е. dS/dx = 0. Подставив это значение в предыдущую формулу, получаем l/2 = 2x, или x = l/4. Не правда ли, легкая задача? А вообще говоря, это и есть задача по оптимизации. При заданной длине забора оптимизируется площадь сада.
В начале этой главы мы уже сформулировали типичную задачу по оптимизации. Каков самый короткий путь между двумя точками? Можно ли доказать математически, что это должна быть прямая или, может быть, существует какая-нибудь кривая, которая до сих пор ускользала от нашего внимания?