К. Гаусс, а затем П. Дирихле, продолжая исследования Л. Эйлера, создали теорию квадратичных форм, другими словами, — теорию о представлении натуральных чисел формами вида ax2+ 2bxy + су2 , где а , b , с — целые числа.
К. Гаусс и П. Дирихле первыми стали рассматривать проблему о количестве целых точек в областях на плоскости. К. Гаусс доказал, что число целых точек в круге X2+Y2 £ R2 равно pR2 + O (R ), а П. Дирихле, в свою очередь, доказал, что число целых точек с положительными координатами под гиперболой xy = N равно
где С — Эйлера постоянная . Обобщения этих двух предложений, а также нахождение наилучших возможных остатков в написанных формулах (проблема целых точек в круге Гаусса и проблема делителей Дирихле) послужили источником большой главы Ч. т.
Теоремы о бесконечности числа простых чисел в арифметич. прогрессиях частного вида, таких, как 4k ± 1, 6k ± 1, были известны давно, однако только П. Дирихле удалось доказать общую теорему о бесконечности числа простых чисел в прогрессиях вида
nk + l , n = 0, 1, 2,...,
где k (разность прогрессии) и l (первый её член) взаимно просты. Он рассмотрел аналог эйлерова произведения по всем простым числам вида
где c(p ) удовлетворяет условиям: не равна тождественно нулю, периодическая x (n + k ) = c(n ) с периодом k , вполне мультипликативная, т. е. c(nm ) = c(n )c(m ) при любых целых n и m. Эту функцию назвали характером Дирихле. С помощью характеров Дирихле можно «вырезать» арифметические прогрессии. Для каждого натурального k существует j(k ) характеров Дирихле (j(k ) — Эйлера функция ), причём если рассмотреть сумму чисел c(n ) по всем возможным характерам, отвечающим k , то она будет равна j(k ), если п при делении на k даёт остаток 1, в противном случае — равна 0. При s > 1 получается аналог тождества Эйлера:
.
Ряд справа в этом равенстве называется рядом Дирихле. Изучая поведение таких рядов при s ® 1 + 0, Дирихле доказал свою теорему о бесконечности числа простых чисел в арифметической прогрессии.
Характеры Дирихле играют важную роль как в самой Ч. т., так и в других разделах математики (алгебре, топологии и др.), а ряды Дирихле составляют большую главу в современной теории функций.
Новый подход к проблеме распределения простых чисел предложен П. Л. Чебышевым. Обозначим через p(Х ) число простых чисел, не превосходящих Х. Теорема Евклида утверждает, что p(Х ) ® +¥ при Х ® +¥. П. Л. Чебышев доказал более точный закон стремления к бесконечности p(Х ):
где а > 1 /2 ln2, b < 2ln2, и утверждение, что если существует предел
при Х ® ¥, то этот предел равен 1. П. Л. Чебышеву принадлежит и другое открытие в теории простых чисел. С помощью вычислений было замечено, что в интервале (X , 2Х ), Х ³ 2, лежит простое число; эту гипотезу назвали постулатом Бертрана. П. Л. Чебышев доказал (1852) эту гипотезу, причём он получил более точный результат, уменьшив длину рассматриваемого интервала. Тем самым вместе с вопросом о простых близнецах, т. е. о наименьшем значении разности pn+1 — рп , возник и стал решаться вопрос об оценке сверху этой разности.
Изучение неопределённых уравнений, и в первую очередь уравнения Ферма, привело к созданию нового раздела Ч. т. — теории алгебраических чисел. Э. Куммер, пытаясь доказать теорему Ферма, пришёл к равенству
где ai — корни n -й степени из единицы. Рассматривая числа вида z + ai y , где z и у — целые, как «новые целые числа», Э. Куммер построил арифметику целых чисел алгебраического числового поля, порожденного ai , т. е. множества чисел, которое получается из ai путём применения к нему всех четырёх арифметических операций. Если бы в таком поле выполнялась теорема о единственности разложения целых чисел на простые сомножители, то тогда записанное выше равенство давало бы противоречие. Однако это не всегда так. Э. Куммер, чтобы сохранить справедливость этой теоремы, ввёл т. н. идеальные множители. Возник ряд проблем, решение которых привело к алгебраической теории чисел с большим количеством новых понятий и результатов.
Вместе с изучением свойств целых чисел возникло и стало развиваться новое направление Ч. т., изучающее арифметику числовой прямой. Уже Л. Эйлер отмечал, что корни квадратные из целых чисел и логарифмы целых чисел принципиально отличаются друг от друга. Последнее обстоятельство обрело точную математическую формулировку после работ Ж. Лиувилля (1844), который ввёл понятия алгебраических чисел и трансцендентных чисел . Оказывается, алгебраические числа «плохо» приближаются рациональными дробями. Ж. Лиувилль доказал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени n , то, приближаясь к нему дробями вида P/Q , где Р и Q — целые взаимно простые числа, подойти существенно ближе чем Q¾n к нему нельзя (теорема Лиувилля). Отсюда сразу следует существование бесконечного числа неалгебраич. чисел, которые стали называть трансцендентными. Например, таким будет число
Однако вопрос об алгебраичности и трансцендентности конкретных чисел труден, и первыми были такие вопросы о классических постоянных p и е . В конце 19 — начале 20 вв. Ч. т. продолжала развиваться по многим направлениям, причём для решения отдельных задач создавались общие методы, применимые к широкому кругу задач, иногда далеко удалённых от первоначальных. Часто созданные здесь методы и понятия дают толчок развитию новых направлений.
Теория алгебраических чисел разделилась на два направления: одно изучает конкретные числа, доказывая их трансцендентность, другое изучает степень приближения алгебраических чисел рациональными или алгебраическими. В первом направлении общие методы были созданы Ш. Эрмитом (1873), доказавшим трансцендентность числа e , и немецким математиком Ф. Линдеманом (1882), доказавшим трансцендентность числа p и тем самым решившим задачу о квадратуре круга . Во втором — А. Туэ (1909) был предложен метод, с помощью которого он доказал, что в неравенстве Лиувилля к алгебраическому числу нельзя подойти существенно ближе чем Q¾n/ 2. Следствием этого явилась теорема Туэ о конечности числа решений в целых числах х и у уравнения
a xn + a1 xn¾1 y+... + an¾1 xyn¾1 + an yn =А ,