В зависимости от свойств механической системы и применяемого метода изучения её движения рассматривают разные выражения для величины Д. Если какой-нибудь промежуток времени t — t разбить на очень малые интервалы Dt и для каждого интервала вычислить так называемую функцию Лагранжа Li= Ti — Пi, где Ti и Пi — средние значения кинетической и потенциальной энергии системы за время Dti, то величина S, равная сумме произведений Li· Dti, т. е.
называется действием по Гамильтону за промежуток времени t — t. Эта величина входит в выражение принципа наименьшего действия в форме Гамильтона — Остроградского.
Вычисленная аналогичным образом величина
называется действием по Лагранжу за промежуток времени t — t и входит в выражение принципа наименьшего действия в форме Мопертюи — Лагранжа.
Для системы, в которой выполняется закон сохранения механической энергии, величины S и W связаны соотношением S =W — h (t — t), где h = Т + П — полная механическая энергия системы.
Равенства (1) и (2) определяют значения S и W тем точнее, чем меньше интервалы времени Dti. Точные значения этих величин получаются при переходе к пределу и даются интегралами
Помимо классической механики, понятием о Д. пользуются в теории упругости, электродинамике, термодинамике обратимых процессов, квантовой механике. В квантовой механике физические величины размерности Д. могут принимать лишь дискретные значения, кратные кванту действия, или Планка постоянной.
С. М. Тарг.
Действительное изображение
Действи'тельное изображе'ние, см. Изображение оптическое.
Действительное число
Действи'тельное число', вещественное число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как в виде рациональной дроби, т. е. дроби p/q, где р и q — целые, q ¹ 0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а вторые — только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
Строгая теория Д. ч., которая позволяет определять иррациональные числа, исходя из рациональных, была развита лишь во 2-й половине 19 в. трудами К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и Г. Кантора. Множество всех Д. ч. называется числовой прямой и обозначается R. Это множество линейно упорядочено и образует поле по отношению к основным арифметическим операциям (сложение и умножение). Множество рациональных чисел всюду плотно в R, и R есть его пополнение. Числовая прямая R подобна геометрической прямой, т. е. между числами из R и точками на прямой можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением упорядоченности. Важнейшее свойство числовой прямой состоит в её непрерывности. Принцип непрерывности числовой прямой имеет несколько различных формулировок. Принцип Вейерштрасса: всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) верхнюю грань. Принцип Дедекинда: всякое сечение в области Д. ч. имеет рубеж. Принцип Кантора (принцип стягивающихся отрезков): всякая стягивающаяся система отрезков {[an, bn]} числовой прямой имеет единственное число, принадлежащее всем отрезкам.
Теория Д. ч. является одним из важнейших узловых вопросов математики. Свойства числовой прямой являются тем фундаментом, на котором строится теория пределов, а вместе с ней — всё здание современного математического анализа. Подробнее см. Число.
С. Б. Стечкин.
Действительность
Действи'тельность, объективная реальность как конкретно развитая совокупность природных и общественно-исторических явлений; понятие Д. употребляется также в смысле подлинной реальности, в отличие от видимости. В этом, онтологическом, смысле понятие Д. употреблялось уже в античной философии: противопоставление «мира по мнению» и истинного, т. е. действительного, мира у Демокрита, чувственного мира и действительного мира — мира идеальных сущностей у Платона. Напротив, у Аристотеля синонимом Д. выступал чувственно воспринимаемый мир, который оказывался реализацией вечных и неизменных форм (см. Возможность и действительность). Эта трактовка была воспринята средневековым католическим мыслителем Фомой Аквинским. В философии нового времени 16—18 вв. Д. истолковывалась как наличное бытие, существующее в пространстве и времени в виде совокупности материальных тел. Д. в трактовке философов нового времени — Т. Гоббса, Р. Декарта и др. — приобретает абстрактно-механический и геометрический характер. И. Кант рассматривал проблему Д. как теоретико-познавательную; критерием Д. для Канта является чувственное восприятие. И. Фихте, Ф. Шеллинг и Г. Гегель считали Д., объективный мир, продуктом деятельности разума. Возражая против гегельянского идеалистического толкования Д. как одной из ступеней самопознания абсолютного духа, Л. Фейербах отстаивал взгляд на неё как на чувственную данность в пространстве и времени, которая не только не нуждается в мышлении для своего существования, но, напротив, сама придаёт ему истинность. Современный неотомизм возрождает средневековую трактовку Д., связывая её с понятиями акта и потенции; Д. есть становящееся бытие, реализующее «чистые» формы. В экзистенциалистско-персоналистском направлении философской мысли рассмотрение действительного перемещается из области разумного и всеобщего в область волевого и индивидуального; понятие Д. употребляется в смысле непосредственной жизненной сферы — человеческих переживаний, выбора, решения и т.д.; это — подлинное бытие, но понятое не онтологически, а антропологически, в связи с самовыражением личности. Т. о., сфера социально-исторической, человеческой Д. трактуется субъективистски.
В марксистской философии понятие Д. в смысле подлинной реальности совпадает с понятием материи. Социально-историческую Д. марксизм рассматривает: как объективный мир, реализующий свои тенденции, законы, потенции, т. е. как бытие в его самоизменении и саморазвитии; как объект и результат человеческой деятельности, практики. Практика, будучи специфически человеческим отношением к бытию, является критерием различения Д. и видимости, критерием истинности мышления: «Практика выше (теоретического) познания, ибо она имеет не только достоинство всеобщности, но и непосредственной действительности» (Ленин В. И., Полное собрание соч., 5 изд., т. 29, с. 195).