Эллиптические координаты
Эллипти'ческие координа'ты, координаты, связанные с семейством софокусных эллипсов и гипербол (см. Софокусные кривые ). Э. к. точки М и её декартовы координаты х, у связаны соотношениями х = с chu cos v, у = с shu sin v.
Эллиптические траектории
Эллипти'ческие траекто'рии, траектории
,
которые может описывать материальная точка (или центр масс тела) при движении под действием силы ньютонианского тяготения
.
В поле тяготения Земли, если пренебречь сопротивлением среды, Э. т. будет в 1-м приближении траектория центра масс тела, которому вблизи поверхности Земли сообщена начальная скорость 
,
где 
» 11,2 км/сек —
вторая космическая скорость (R —
радиус Земли, g —
ускорение силы тяжести).
Эллиптические функции
Эллипти'ческие фу'нкции, функции, связанные с обращением эллиптических интегралов . Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.
Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу
так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода
где z = sin jw, k — модуль эллиптического интеграла, порождает функции: j = am z — амплитуда z (эта функция не является Э. ф.) и w = sn z = sin (am z ) — синус амплитуды. Функции cn — косинус амплитуды и dn z — дельта амплитуды определяются формулами
Функции sn z, cn z, dn z называют Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением
sn2z + cn2 z = k2 sn2z + dn2z = 1.
На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением
sn2z + cn2 z = k2 sn2z + dn2z = 1
На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби для действительного x и 0 < k < 1; а
— полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4K — основной период Э. ф. sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z — двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK, где
и 
—
дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э.
ф. Якоби приведены в таблице, где m
и n —
любые целые числа.
| Функции | Периоды | Нули | Полюсы |
| sn z | 4Km + 2iK'n | 2mK + 2iK'n | }2mK + (2n + 1) iK' |
| cn z | 4K + (2K + 2iK' ) n | (2m + 1) K + 2iK'n | |
| dn z | 2Km + 4iK'n | (2m + 1) K + (2n + 1) iK |
Э. ф. Вейерштрасса Ã(х ) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода
где параметры g2 и g2 — называются инвариантами Ã(x ). При этом предполагается, что нули e1 , e2 и e3 многочлена 4t3 — g2t — g3 различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э. ф. Вейерштрасса Ã(х ) связана с Э. ф. Якоби следующими соотношениями:
,
,
.
Любая мероморфная двоякопериодическая функция f
(z
) с периодами w1
и w2
, отношение которых мнимо, т. е. f
(z
+ m
w1
+ п
w2
) = f
(z
) при m
, n = , ±
1, ±2,... и 
, является Э. ф. Для построения Э. ф., а также численных расчётов применяют сигма-функции
и тэта-функции
.
Изучению Э. ф. предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр . Основоположниками теории Э. ф. являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Э. ф. через Ã-функцию, а также z-, s-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э. ф.).
Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Уиттекер Э, Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967.
Рис. к ст. Эллиптические функции.
Эллиптический параболоид
Эллипти'ческий параболо'ид, один из двух видов параболоидов .
Эллиптический цилиндр
Эллипти'ческий цили'ндр, линейчатая цилиндрическая поверхность, уравнение которой может быть приведено к виду x2 /a2 + y2b2 = 1. См. Поверхности второго порядка .
Эллис (атоллы)
Э'ллис (Ellice) (с 1975 — Тувалу; Tuvalu), группа атоллов на З. Тихого океана, в Полинезии. Владение Великобритании. Площадь 24 км2. Население 5,8 тыс. человек (1973). Состоит из 9 низменных коралловых атоллов, вытянутых на 600 км. Плантации кокосовой пальмы, бананов. Экспорт копры. Административный центр — г. Фунафути.
Эллис Фред
Э'ллис (Ellis) Фред (5.6. 1886, Чикаго, — 10. 6. 1965, Нью-Йорк), американский график-карикатурист. С 1924 член компартии США. Учился в художественной школе в Чикаго (1905), с 1927 главный художник «Дейли уоркер», в 1930—36 работал в СССР для газет «Правда» и «Труд». В ясных, широких и живописных по манере рисунках Э. нашли страстное и лаконичное выражение темы обличения капитализма, призыв к борьбе рабочего класса, гневное осуждение фашизма.
Лит.: Дурус А., Фред Эллис, М. — Л., 1937; Выгодская Т., Фред Эллис, «Искусство», 1964, № 11.
Ф. Эллис. «Не беспокойтесь, здесь только коммунисты». Рисунок. 1934.
Эллора
Элло'ра, Эллур, Элура, деревня в Индии, в 15 км от Аурангабада (штат Махараштра), близ которой — группа из 34 высеченных в скале буддийских, брахманских и джайнских храмов (все — между 6—13 вв.), в том числе монолитный храм Кайласанатха, стилобат одной из трёх частей которого опоясан изваяниями слонов в натуральную величину.