) со свёрткой в качестве произведения, и широкое обобщение их — класс т. н. групповых алгебр (топологические группы G
), состоящих из комплекснозначных функций или мер, определённых на G
со свёрткой (в различных, не обязательно эквивалентных вариантах) в качестве умножения.
Пусть — коммутативная (т. е. xy
= ух
для любых x
, у
Î на М
, причём сумме x
+ y
и произведению xy
соответствуют сумма и произведение функций. Другими словами, существует гомоморфизм борелевских подмножеств G
, инвариантная справа: для любых В
Î , где c(h
) — характер группы G
: непрерывная функция на G
такая, что |c(h
)| = 1 и c(h1
h2
) = c(h1
)c(h2
), d
c — мера Хаара на группе характеров , а
,
— обобщённое преобразование Фурье функций f
(g
) и k
(g
), которое продолжается до изоморфизма L2
(G
, dg
) в L2
(, dc). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G
компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удаётся хорошо описать; в этом случае L2
(G
, dg
) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G
некомпактна, то также получается разложение L2
(G
, dg
) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.
Если G
= , то теория унитарных представлений может быть сведена к теории самосопряжённых операторов. Именно, однопараметрическая группа унитарных операторов Т
l
, l Î в гильбертовом пространстве Н
допускает представление Т
l
= exp i
lA
, где А
— самосопряжённый оператор (теорема Стоун а); оператор А
называется инфинитезимальным оператором (генератором) группы {Т'
l
}. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классической механики. Эта связь, а также приложения в статистической физике лежат в основе обширной ветви Ф. а. — эргодической теории
. Связь между однопараметрическими группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы T
l
не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых и более общих пространствах и даже быть определёнными лишь для l ³ 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Ф. а. имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.
Лит.:
Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киïв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1—3, М., 1962—74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.
Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.
(обратно)
Функциональный анализ (хим.)
Функциона'льный ана'лиз
(химический), совокупность химических и физических методов анализа (главным образом органических веществ), основанных на определении в молекулах реакционно-способных групп атомов (отдельных атомов) — т. н. функциональных групп. Такими группами являются, например, гидроксильная (—ОН), карбоксильная (