(3) = p1 p2,
где
и
— новые И., например И. p1, являющийся наибольшим общим делителем И.
состоит из всех чисел вида
где k и l — любые целые рациональные числа.
Понятие «И.» (или в первоначальной терминологии «идеального числа») было введено в 1847 для одного частного случая числовых полей немецким математиком Э. Куммером. Строгое и полное обоснование теории И. для любых числовых полей дали независимо друг от друга немецкий математик Р. Дедекинд в 1871 и русский математик Е. И. Золотарев в 1877. Новое содержание теория И. получила в середине 20 в. в связи с развитием общей теории колец.
Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1—2, М.—Л., 1947.
Идеал (филос.)
Идеа'л (франц. idéal, от греч. idéa — идея, первообраз), идеальный образ, определяющий способ мышления и деятельности человека или общественного класса. Формирование природы сообразно И. представляет собой специфически-человеческую форму жизнедеятельности, ибо предполагает специальное создание образа цели деятельности до её фактического осуществления.
Проблема И. была обстоятельно разработана в немецкой классической философии. Наиболее остро она была поставлена И. Кантом в связи с проблемой «внутренней цели». Согласно Канту, явления, не имеющие цели, которая могла бы быть представлена образно, не могут иметь и идеала. Единственным существом, действующим по «внутренней цели», является человек как представитель рода. В животном внутренняя целесообразность осуществляется бессознательно и потому не обретает форму И., особого образа цели. Согласно Канту, И. как воображаемое (достигнутое в воображении) совершенство человеческого рода характеризуется полным и абсолютным преодолением всех противоречий между индивидом и обществом, то есть между индивидами, составляющими «род». Таким образом, осуществление И. совпадало бы с концом истории. В силу этого И., по Канту, принципиально недостижим и представляет собой только «идею» регулятивного порядка. Он указывает скорее направление на цель, чем задаёт образ самой цели, и потому руководит человеком скорее как чувство верного направления, чем как ясный образ результата. Только в искусстве И. может и должен быть представлен в виде образа — в форме прекрасного. И. науки («чистого разума») задаётся в виде принципа «запрета противоречия», моральный И. («практического разума») — в форме категорического императива. Ни там, ни здесь наглядно представить себе состояние, соответствующее И., нельзя, ибо оно неосуществимо в течение сколь угодно длительного, но конечного времени. Поэтому И. и «прекрасное» становятся синонимами, и жизнь И. допускается только в искусстве. Эти идеи Канта получили развитие в соч. Ф. Шиллера, И. Г. Фихте, Ф. В. Шеллинга и немецких романтиков.
Г. Гегель, остро понявший бессилие кантовского представления об И., развенчал его как абстракцию, выражающую на деле один из моментов развивающейся действительности «духа» (то есть истории духовной культуры человечества) и противопоставленную другой такой же абстракции — «эмпирической действительности», якобы принципиально враждебной И. и несовместимой с ним. И. становится у Гегеля моментом действительности, образом человеческого духа, вечно развивающегося через свои имманентные противоречия, преодолевающего свои собственные порождения, свои «отчуждённые» состояния, а не изначально внешнюю и враждебную ему «эмпирическую действительность». И. науки (научного мышления) поэтому может и должен быть задан в виде системы логики, а И. практического разума — в виде образа разумно устроенного государства, а не в виде формальных и принципиально неосуществимых абстрактных императивных требований, обращенных к индивиду. И. как таковой поэтому всегда конкретен, и он постепенно реализуется в истории. Любая достигнутая ступень развития предстаёт с этой точки зрения как частично реализованный И., как фаза подчинения эмпирии власти мышления, силе идеи, творческой мощи понятия, — то есть коллективного разума объединённых вокруг идей людей. В виде И. всегда оформляется образ конкретной цели деятельности «рода», то есть человечества на данной ступени его интеллектуального и нравственного развития. В составе И. действительно представляются разрешенными главные, наиболее острые и окончательно назревшие всеобщие противоречия. «Дух» всегда осуществляет наличные проблемы, а не абстрактно-формальную цель «абсолютного совершенства», представляемого как неподвижное и лишённое жизни (стало быть и противоречий) состояние.
Поскольку И. определяется Гегелем в духе традиций немецкой классической философии как наглядно созерцаемый образ цели, дальнейшая разработка проблемы И. переходит у него в эстетику, в систему определений «прекрасного». Осуществление И. как «прекрасного» относится Гегелем, однако, к прошлому — к эпохе античного «царства прекрасной индивидуальности». Это связано с тем, что Гегель считает буржуазное (идеализированное им) развитие культуры завершением социальной истории людей. Теоретически увековечивая капиталистическое разделение труда, Гегель считает романтической мечтой, то есть реакционным идеалом, идею всестороннего и целостного развития индивида. Но без этого идея «прекрасной индивидуальности» становится немыслимой даже чисто теоретически. Поэтому «прекрасное» (а тем самым и И. как таковой) оказывается у Гегеля скорее образом прошлого человеческой культуры, нежели образом её будущего.
Подвергнув критике идеализм Гегеля, марксизм-ленинизм материалистически переработал диалектические идеи Гегеля относительно И., его состава, его роли в жизни общества и возможностей его конкретной реализации. Понимая под И. образ цели деятельности объединённых вокруг общей задачи людей, К. Маркс и Ф. Энгельс главное внимание обратили на исследование реальных условий жизни основных классов современного им (буржуазного) общества, на анализ тех реальных всеобщих потребностей, которые побуждают эти классы к деятельности и преломляются в их сознании в форме И. Идеал был впервые понят с точки зрения отражения противоречий развивающейся социальной действительности в головах людей, находящихся в тисках этих противоречий. В виде И. в сознании всегда своеобразно отражается противоречивая социально-историческая ситуация, чреватая назревшими, но не удовлетворяемыми потребностями более или менее широких масс людей, общественных классов, групп. В виде И. эти группы людей и создают для себя образ такой действительности, в рамках которого наличные, гнетущие их противоречия представляются преодоленными, «снятыми», и действительность изображена «очищенной» от этих противоречий, свободной от них. Это не значит, что в виде И. следует представлять себе грядущее состояние лишённым каких бы то ни было противоречий развития. В И. идеально разрешаются наличные, конкретно-исторические по существу и по происхождению, противоречия и поэтому И. выступает как активная, организующая сознание людей сила, объединяющая их вокруг решения вполне определённых, конкретных, исторически назревших задач.