где Mz
— изгибающий момент в сечении, a Iz
—
момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси. Наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах сечения 
момент сопротивления поперечного сечения). Касательные напряжения t
, возникающие при поперечном И., определяются по формуле Д. И. Журавского
где Qy
— поперечная сила в сечении, Sz
—
статический момент относительно нейтральной оси части площади поперечного сечения, расположенной выше (или ниже) рассматриваемого волокна, b—
ширина сечения на уровне рассматриваемого волокна. Характер изменения изгибающих моментов и поперечных сил по длине бруса обычно изображается графиками-эпюрами, по которым определяются их расчётные значения. Под влиянием И. ось бруса искривляется, ее кривизна определяется выражением 
где r
— радиус кривизны оси изогнутого бруса в рассматриваемом сечении; Е —
модуль продольной упругости материала бруса. В случаях малых деформаций кривизна приближённо выражается второй производной от прогиба V
, а поэтому между координатами изогнутой оси и изгибающим моментом существует дифференциальная зависимость 
называемая дифференциальным уравнением оси изогнутого бруса. Решением этого уравнения определяется упругая линия
балки (бруса). Расчёт бруса на И. с учётом пластических деформаций приближённо производится в предположении, что при возрастании нагрузки (изгибающего момента) первоначально в крайних точках (волокнах), а затем и во всём поперечном сечении возникают пластические деформации. Распределение напряжений в предельном состоянии имеет вид двух прямоугольников с ординатами, равными пределу текучести материала sт
, при этом кривизна бруса неограниченно возрастает. Такое состояние в сечении называется пластическим шарниром, а соответствующий ему момент является предельным и определяется по формуле 
в которой S1
и S2
— статические моменты сжатой и растянутой частей сечения относительно нейтральной оси.
Лит. см. при ст. Сопротивление материалов .
Л. В. Касабьян.
Рис. 2. Чистый изгиб прямого бруса в упругой стадии: а — элемент бруса; б — поперечное сечение; в — эпюра нормальных напряжений.
Рис. 1. Изгиб бруса: а — чистый: б — поперечный; в — продольный; г — продольно-поперечный.
Изгибание
Изгиба'ние (математическое), деформация поверхности, при которой длина каждой дуги любой линии, проведённой на этой поверхности, остаётся неизменной. Наглядный пример И. — свёртывание листа бумаги в цилиндр или конус (при условии, что бумага нерастяжима; поэтому длина каждой дуги любой линии, проведённой на бумаге, остаётся неизменной). Напротив, раздувание шарика, изготовленного из тонкой резиновой плёнки, представляет собой пример деформации, которая не будет И.
И. поверхностей изучается в дифференциальной геометрии . Одна из теорем этой области — теорема Гаусса: при И. поверхности произведение её главных кривизн (полная кривизна) в каждой точке остаётся неизменным. Из этой теоремы следует, что никакой кусок сферы при помощи И. нельзя превратить в кусок сферы другого радиуса или придать ему плоскую форму. В современной дифференциальной геометрии особенно важное место занимают исследования возможности или невозможности И. различных поверхностей. Доказано, что каждая замкнутая выпуклая поверхность (например, целая сфера, целый эллипсоид) не может изгибаться; если же из такой поверхности вырезать сколь угодно малый кусок, то оставшаяся часть будет допускать И. Доказательство получено благодаря работам немецкого математика С. Кон-Фоссена и советских математиков А. Д. Александрова и А. В. Погорелова. Исследование И. поверхности имеет важное значение для теории тонких оболочек в механике.
Лит.: Кон-Фоссен С. Э., Изгибаемость поверхностей в целом, «Успехи математических наук», 1936, в. 1; Ефимов Н. В., Качественные вопросы теории деформаций поверхностей, там же, 1948, т. 3, в. 2; Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М. — Л., 1950; Погорелов А. В., Изгибание выпуклых поверхностей, М. — Л., 1951.
Изгибные волны
Изги'бные во'лны, деформации изгиба, распространяющиеся в стержнях и пластинках (см. Изгиб ). Длина И. в. l всегда много больше толщины стержня или пластинки. Если длина волны становится сравнимой с толщиной пластинки, то движение в волне усложняется и волну уже не называют изгибной. Примерами И. в. могут служить волны в камертоне, в деках музыкальных инструментов, в диффузорах громкоговорителей, а также волны, возникающие при вибрациях тонкостенных механических конструкций (корпуса самолётов и автомобилей, перекрытия и стены зданий и т. д.). В очень длинных стержнях и больших пластинках возникают бегущие И. в. При распространении И. в. каждый элемент стержня или пластинки смещается перпендикулярно оси стержня или плоскости пластинки (рис. ). Для И. в. характерна дисперсия (см. Дисперсия звука ). Фазовая скорость монохроматической И. в. пропорциональна квадратному корню из частоты. Групповая скорость И. в. равна удвоенной фазовой скорости. В стержнях и пластинках, размеры которых в направлении распространения И. в. ограничены, в результате отражений от концов возникают стоячие И. в. Возможны И. в. не только в плоских, но и в искривленных пластинках (оболочках ).
И. А. Викторов.
Деформация стержня (а) и пластинки (б) в изгибной волне; z — направление распространения волны; u — амплитуда смещения элементов стержня и пластинки.
Изгои
Изго'и (от гоить — жить), на Руси 11—12 вв. люди, вышедшие («выжитые») в силу каких-либо обстоятельств из своего обычного общественного положения. Первоначальные сведения об И. содержатся уже в Русской правде, в уставной грамоте 1150 смоленского князя Ростислава Мстиславича и в церковном уставе князя Всеволода Гавриила Мстиславича. И. имелись во владениях церковных и светских феодалов. Большинство И. происходило, видимо, из крестьян, порвавших в процессе феодализации связь с общиной, и из выкупившихся или отпущенных на свободу холопов. С развитием феодализма И. слились с массой феодально-зависимого населения.
Лит.: Греков Б. Д., Крестьяне на Руси с древнейших времен до XVII в., 2 изд., кн. 1, М., 1952; Смирнов И. И., К вопросу об изгоях, в сборнике: Академику Б. Д. Грекову ко дню 70-летия. Сб. ст., М., 1952, с. 105—11.
Издательское дело
Изда'тельское де'ло, отрасль культуры и производства, связанная с подготовкой, выпуском и распространением книг, журналов, газет, изобразительных материалов и других видов печатной продукции. Уровень, объём и направление И. д. определяются материальными, социально-политическими и культурными условиями жизни общества.
Книжное дело существовало за много столетий до появления книгопечатания . Рукописная книга как средство выражения общественного сознания оказывала влияние на развитие и формирование идей и знаний, однако круг её действия был крайне ограничен. Изобретение И. Гутенбергом европейского способа книгопечатания (середина 15 в.) открыло новую эру в истории книги; печатное слово стало важным фактором общественного развития.