Большая Советская Энциклопедия (ЛИ)

, обращающееся в нуль лишь при х = 0 и обладающее свойствами  и  (неравенство треугольника). Число  называют расстоянием между элементами х и у (см. также Метрическое пространство). В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.

  В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k — 1)-й степени P_k-i(t), чтобы

 

  имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой

=  

  эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен P_k-i(t), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций), естественно рассматривать норму, определённую формулой

,

  и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы  и  существенно различны, так как, например, последовательность функций

  по первой норме расходится, а по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции

.

  Следует отметить, что хотя все функции x_n(t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы . При этом нормированное Л. п. называется полным, если для любой последовательности {x_n} его элементов, удовлетворяющих условию

,

  существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.

,

  Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой , получают гильбертово пространство L²_p. Полные нормированные Л. п. называется банаховыми, или В-пространствами, — по имени изучившего их основные свойства С. Банаха.

  Обобщением понятия B-пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством, 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Л. п.

  Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

Линейное судоходство

Лине'йное судохо'дство, см. Морские линии.

Линейное уравнение

Лине'йное уравне'ние, уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел c₁, c₂, ..., c_n, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).

  Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:

  ax = b;

  решением его при а ¹ 0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:

   (1)

  где a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂, b₁, b₂— какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:

  ,

  ;

  здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель  отличен от нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b₁, b₂; в выражении для первого неизвестного x₁ заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x₂ — второй.

  Аналогичное правило применимо и при решении любой системы и Л. у. с n неизвестными, т. е. системы вида:

   (2)

  здесь a_ij и b_i (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа b₁, b₂, ..., b_n называют обычно свободными членами. Если определитель D = ½a_ij½ системы (2), составленный из коэффициентов a_ij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k-e (k = 1, 2, ..., n) неизвестное x_k равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе — определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b₁, b₂, ..., b_n. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.

  Если все b_i = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D ¹ 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все x_k = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:

   (3)

  Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:

  x₁ : x₂ : ... : x_n = D₁ : D₂ : ... : D_n,

  где D_n — умноженный на ( — 1)^k определитель, полученный из матрицы коэффициентов a_ij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей D_i отличен от 0).