Н. г. в виде проективных моделей. Пусть на проективной плоскости введены проективные однородные координаты (x 1 , x 2 , x3 ) и задана некоторая овальная линия второго порядка, обозначаемая дальше буквой k, например
x1 2 + x2 2 + x3 2 = 0
Каждое проективное отображение проективной плоскости на себя, которое оставляет на месте линию k, называется автоморфизмом относительно k. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии k также во внутренние её точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии k составляет группу . Пусть рассматриваются только точки проективной плоскости, лежащие внутри k; хорды линии k называются «прямыми». Две фигуры пусть считаются равными, если одна из них переводится в другую некоторым автоморфизмом. Так как автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: если фигура А равна фигуре В, то В равна А; если фигура А равна фигуре В , а В равна фигуре С , то А. равна С . В получаемой т. о. геометрические теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных: вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского (см. рисунок , где показано, что через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямой» а ). Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи объектов проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линию k называют абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно k играют роль движений. Поэтому геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию, изучающую свойства фигур и связанные с фигурами величины, которые остаются неизменными при автоморфизмах; короче говоря, геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию инвариантов группы автоморфизмов относительно овального абсолюта.
Геометрия Римана (двумерная) допускает сходное истолкование; именно она является теорией инвариантов относительно нулевого абсолюта
x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 0. (10)
При этом в качестве точек и прямых модели берутся все точки и прямые проективной плоскости; автоморфизмы определяются чисто алгебраически как линейные преобразования, которые переводят уравнение (10) в уравнение того же вида.
Евклидову геометрию также можно рассматривать как теорию инвариантов некоторой группы проективных преобразований, именно, группы автоморфизмов относительно вырожденного абсолюта
x 1 2 + x 2 2 = 0, x 3 = 0,
т. е. относительно мнимых точек (1, i, 0), (1, —i, 0); эти точки называют круговыми точками. Предметом модели являются все точки проективной плоскости, кроме точек прямой x3 = 0, и все прямые проективной плоскости, кроме прямой x3 = 0. В последнем случае автоморфизмы играют роль подобных преобразований, а не движений, как в случае Н. г.
Рассмотренные модели относятся к двумерным геометриям; проективные модели высших размерностей строятся аналогично.
Соответственно характеру уравнений абсолютов, геометрия Лобачевского называется гиперболической, геометрия Римана — эллиптической, геометрия Евклида — параболической.
Н. г. имеют существенные приложения в математике (теории аналитических функций, теории групп и др.) и смежных с нею областях (например, в теории относительности). Эти приложения основаны на том, что разнообразные конкретные модели Н. г. связаны с различными объектами и понятиями указанных разделов математики и смежных с нею областей. О значении Н. г. см. также Геометрия .
Лит.: Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950; Клейн Ф., Неевклидова геометрия, пер. с нем., М. — Л., 1936; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.
Н. В. Ефимов.
Рис. к ст. Неевклидовы геометрии.
(обратно)Неедлы Вит
Не'едлы (Nejedlý) Вит [22.6.1912, Прага, — 1.1.1945, близ Дукельского перевала (Восточные Бескиды, Карпаты, на границе Польши и Чехословакии)], чехословацкий композитор и дирижёр. Сын З. Неедлы . Ученик О. Еремиаша (композиция, дирижирование). С 1939 жил в Москве, работал редактором на радио, затем руководил чехословацким армейским ансамблем, которому после гибели Н. на фронте присвоено его имя. Среди сочинений — опера «Ткачи» (по пьесе Г. Гауптмана, 1938, пост. 1961 в оркестровке Я. Гануша), кантата «День» (1935), 3 симфонии (3-я посвящена героям Испанской республики, 1938), симфониетта (1938); увертюра (по стихотворению «Рассвет» Э. Верхарна), хор «150 миллионов» (по В. В. Маяковскому), марши, массовые песни, обработки народных песен. Автор статей о музыке (в книге «Критические статьи о музыке», 1956).