Н. г. как синтетические теории. Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных. Именно, согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии, через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит только одна прямая, которая лежит в одной плоскости с прямой а и не пересекает эту прямую; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых несколько (затем доказывается, что их бесконечно много).
В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Т. о., система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и в части остальных аксиом. Различными в этих геометриях являются аксиомы, которые служат для обоснования так называемых отношений порядка геометрических элементов. Сущность в следующем: в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой является линейным, т. е. подобным порядку в множестве действительных чисел; в геометрии Римана порядок точек на прямой является циклическим, т. е. подобным порядку в множестве точек на окружности. Кроме того, в геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, т. е. любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую (топологической моделью плоскости Римана служит проективная плоскость ).
Требования аксиом, определяющих движение фигур, для всех трёх геометрий одинаковы.
Примеры теорем Н. г.
1) В геометрии Лобачевского сумма внутренних углов любого треугольника меньше двух прямых; в геометрии Римана эта сумма больше двух прямых (в евклидовой геометрии она равна двум прямым).
2) В геометрии Лобачевского площадь треугольника выражается формулой:
S = R2 (p - a - b - g), (1)
где a, b, g — внутренние углы треугольника, R — некоторая постоянная, которая определяется выбором единицы измерения площадей. В геометрии Римана имеет место формула:
S = R2 (a + b + g - p) (2)
при аналогичном значении символов (в евклидовой геометрии зависимости между площадью треугольника и суммой его углов нет).
3) В геометрии Лобачевского между сторонами и углами треугольника существует ряд зависимостей, например
где sh, ch — гиперболические синус и косинус (см. Гиперболические функции ), a, b, c — стороны треугольника, a, b, g — противолежащие им углы, R — постоянная, определяемая выбором масштаба; для прямоугольного треугольника (с гипотенузой с и прямым углом g) имеет место, например, равенство:
При некотором согласовании линейного масштаба и единицы измерения площадей постоянная R в формулах (1), (3), (4) будет одинаковой. Число R называется радиусом кривизны плоскости (или пространства) Лобачевского. Число R при данном масштабе выражает определённый отрезок в плоскости (пространстве) Лобачевского, который также называют радиусом кривизны. Если масштаб меняется, то меняется число R, но радиус кривизны, как отрезок, остаётся неизменным. Если радиус кривизны принять за масштабный отрезок, то R = 1. В геометрии Римана существуют сходные равенства:
(для произвольного треугольника) и
(для прямоугольного) при аналогичном значении символов. Число R называют радиусом кривизны плоскости (или пространства) Римана. Как видно из формул (4) и (6), в каждой из Н. г. гипотенуза прямоугольного треугольника определяется его углами; более того, в Н. г. стороны любого треугольника определяются его углами, т. е. не существует подобных треугольников, кроме равных. В евклидовой геометрии нет формул, аналогичных формулам (4) и (6), и нет никаких др. формул, выражающих линейные величины через угловые. При замене R на Ri
формулы (1), (3), (4) превращаются в формулы (2), (5), (6); вообще, при замене R на Ri все метрические формулы геометрии Лобачевского (сохраняющие при этой замене геометрический смысл) переходят в соответствующие формулы геометрии Римана. При R ® ¥ и те и другие дают в пределе формулы евклидовой геометрии (либо теряют смысл). Стремление к бесконечности величины R означает, что масштабный отрезок является бесконечно малым по сравнению с радиусом кривизны (как с отрезком). То обстоятельство, что при этом формулы Н. г. переходят в пределе в формулы евклидовой геометрии, означает, что для малых (по сравнению с радиусом кривизны) неевклидовых фигур соотношения между их элементами мало отличны от евклидовых.
Н. г. в плане дифференциальной геометрии. В каждой из Н. г. дифференциальные свойства плоскости аналогичны дифференциальным свойствам поверхностей евклидова пространства (см. Дифференциальная геометрия ); в неевклидовой плоскости могут быть введены внутренние координаты u, v, так что дифференциал ds дуги кривой, соответствующий дифференциалам du, dv координат, определяется равенством:
ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 (7)
Пусть, в частности, в качестве координаты u произвольной точки М берётся длина перпендикуляра, опущенного из М на фиксированную прямую, а в качестве координаты v — расстояние от фиксированной точки О этой прямой до основания указанного перпендикуляра; величины u, v следует брать со знаком, подобно обычным декартовым координатам. Тогда формула (7) для плоскости Лобачевского будет иметь вид:
а для плоскости Римана
R — та же постоянная, которая входит в формулы предыдущего раздела (радиус кривизны). Правые части (8) и (9) суть метрические формы поверхностей евклидова пространства, имеющих соответственно постоянную отрицательную кривизну К = — 1/R2 (как, например, псевдосфера) и постоянную положительную кривизну К = 1/R2 (как, например, сфера). Поэтому внутренняя геометрия достаточно малой части плоскости Лобачевского совпадает с внутренней геометрией на соответствующей части поверхности постоянной отрицательной кривизны. Аналогично, внутренняя геометрия достаточно малых частей плоскости Римана реализуется на поверхностях постоянной положительной кривизны (поверхностей, которые реализуют геометрию всей плоскости Лобачевского, в евклидовом пространстве нет). При замене R на Ri метрическая форма (8) переходит в метрическую форму (9). Так как метрическая форма определяет внутреннюю геометрию поверхности, то при такой замене и другие метрические соотношения геометрии Лобачевского переходят в метрические соотношения геометрии Римана (что уже было отмечено выше). При R = ¥ каждое из равенств (8) и (9) даёт