ds2 = du2 + dv2 ,
т. е. метрическую форму евклидовой плоскости.
Трёхмерные неевклидовы пространства по своим дифференциальным свойствам относятся к числу римановых пространств в широком смысле (см. Риманово пространство ) и выделяются среди них прежде всего тем, что имеют постоянную риманову кривизну (см. Риманова геометрия ). Как в двумерном, так и в трёхмерном случае постоянство кривизны обеспечивает однородность пространства, т. е. возможность движения фигур в нём, причём с той же степенью свободы, как (соответственно) на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве. Пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, равную — 1/R2 , пространство Римана — положительную кривизну, равную 1/R2 (R — радиус кривизны). Евклидово пространство занимает промежуточное положение и является пространством нулевой кривизны.
Пространства постоянной кривизны могут иметь весьма разнообразное строение в смысле топологии . Среди всех пространств постоянной отрицательной кривизны пространство Лобачевского однозначно выделяется двумя свойствами: оно полно (в смысле полноты метрического пространства ), топологически эквивалентно обычному евклидову пространству. Пространство Римана среди всех пространств положительной кривизны однозначно выделяется свойством топологической эквивалентности проективному пространству. Аналогичными условиями выделяются многомерные пространства Лобачевского и Римана среди многомерных пространств постоянной римановой кривизны.
Н. г. в виде проективных моделей. Пусть на проективной плоскости введены проективные однородные координаты (x1 , x2 , x3 ) и задана некоторая овальная линия второго порядка, обозначаемая дальше буквой k, например
x12 + x22 + x32 = 0
Каждое проективное отображение проективной плоскости на себя, которое оставляет на месте линию k, называется автоморфизмом относительно k. Каждый автоморфизм отображает внутренние точки линии k также во внутренние её точки. Множество всех автоморфизмов относительно линии k составляет группу . Пусть рассматриваются только точки проективной плоскости, лежащие внутри k; хорды линии k называются «прямыми». Две фигуры пусть считаются равными, если одна из них переводится в другую некоторым автоморфизмом. Так как автоморфизмы составляют группу, то имеют место основные свойства равенства фигур: если фигура А равна фигуре В, то В равна А; если фигура А равна фигуре В , а В равна фигуре С , то А. равна С . В получаемой т. о. геометрические теории будут соблюдены требования всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных: вместо этой последней аксиомы соблюдается аксиома о параллельных Лобачевского (см. рисунок , где показано, что через точку Р проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих «прямой» а ). Тем самым получается истолкование (двумерной) геометрии Лобачевского при помощи объектов проективной плоскости или, как говорят, проективная модель геометрии Лобачевского; линию k называют абсолютом этой модели. Автоморфизмы относительно k играют роль движений. Поэтому геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию, изучающую свойства фигур и связанные с фигурами величины, которые остаются неизменными при автоморфизмах; короче говоря, геометрию Лобачевского можно рассматривать как теорию инвариантов группы автоморфизмов относительно овального абсолюта.
Геометрия Римана (двумерная) допускает сходное истолкование; именно она является теорией инвариантов относительно нулевого абсолюта
x12 + x22 + x32 = 0. (10)
При этом в качестве точек и прямых модели берутся все точки и прямые проективной плоскости; автоморфизмы определяются чисто алгебраически как линейные преобразования, которые переводят уравнение (10) в уравнение того же вида.
Евклидову геометрию также можно рассматривать как теорию инвариантов некоторой группы проективных преобразований, именно, группы автоморфизмов относительно вырожденного абсолюта
x12 + x22 = 0, x3 = 0,
т. е. относительно мнимых точек (1, i, 0), (1, —i, 0); эти точки называют круговыми точками. Предметом модели являются все точки проективной плоскости, кроме точек прямой x3 = 0, и все прямые проективной плоскости, кроме прямой x3 = 0. В последнем случае автоморфизмы играют роль подобных преобразований, а не движений, как в случае Н. г.
Рассмотренные модели относятся к двумерным геометриям; проективные модели высших размерностей строятся аналогично.
Соответственно характеру уравнений абсолютов, геометрия Лобачевского называется гиперболической, геометрия Римана — эллиптической, геометрия Евклида — параболической.
Н. г. имеют существенные приложения в математике (теории аналитических функций, теории групп и др.) и смежных с нею областях (например, в теории относительности). Эти приложения основаны на том, что разнообразные конкретные модели Н. г. связаны с различными объектами и понятиями указанных разделов математики и смежных с нею областей. О значении Н. г. см. также Геометрия .
Лит.: Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия, М., 1950; Клейн Ф., Неевклидова геометрия, пер. с нем., М. — Л., 1936; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.
Н. В. Ефимов.
Рис. к ст. Неевклидовы геометрии.
Неедлы Вит
Не'едлы (Nejedlý) Вит [22.6.1912, Прага, — 1.1.1945, близ Дукельского перевала (Восточные Бескиды, Карпаты, на границе Польши и Чехословакии)], чехословацкий композитор и дирижёр. Сын З. Неедлы . Ученик О. Еремиаша (композиция, дирижирование). С 1939 жил в Москве, работал редактором на радио, затем руководил чехословацким армейским ансамблем, которому после гибели Н. на фронте присвоено его имя. Среди сочинений — опера «Ткачи» (по пьесе Г. Гауптмана, 1938, пост. 1961 в оркестровке Я. Гануша), кантата «День» (1935), 3 симфонии (3-я посвящена героям Испанской республики, 1938), симфониетта (1938); увертюра (по стихотворению «Рассвет» Э. Верхарна), хор «150 миллионов» (по В. В. Маяковскому), марши, массовые песни, обработки народных песен. Автор статей о музыке (в книге «Критические статьи о музыке», 1956).
Лит.: Шнеерсон Г., Музыкант-боец. К 50-летию В. Неедлы, «Советская музыка», 1962, № 7.
Неедлы Зденек
Не'едлы (Nejedlý) Зденек (10.2.1878, Литомишль, — 9.3.1962, Прага), чехословацкий учёный и общественный деятель, музыковед, историк, литературный критик; член Чешской академии наук и искусств (1907), основатель и президент (с 1952) Чехословацкой АН. Член Коммунистической партии Чехословакии с 1929. Сын композитора и педагога Р. Неедлы. Окончил философский факультет Карлова университета в Праге. С 1900 доктор философии. В 1909—39 и 1945—62 профессор Карлова университета, в 1939—45 — Московского университета. Член многих зарубежных научных учреждений, в том числе член-корреспондент АН СССР (1947).