у = А (х ),
причём никакие два разных элемента х и х' не переходят в один и тот же элемент у . Тогда каждому образу у отвечает его единств. прообраз х . Это соответствие называется обратным оператором и обозначают
х = А –1 (у ).
Построение обратного оператора эквивалентно решению уравнения у = А (х ) относительно х (отыскание неизвестного прообраза по данному образу).
Если A 1 и А 2 — два оператора, отображающих R в R' , то их суммой А = A 1 + A 2 называется оператор, определяемый равенством А (х ) = A 1 (x ) + A 2 (x ). Если оператор A 1 переводит R в R' , а A 2 переводит R' в R” , то результат их последовательного применения представляет собой оператор, отображающий R в R” ; его называют произведением A 2 A 1 операторов A 1 и A 2 . Если, в частности, рассматриваются операторы, переводящие некоторое линейное пространство в себя, то сумма и произведение двух таких операторов всегда определены. Результат последовательного применения п раз одного и того же оператора А есть n -я степень An этого оператора. Например, n -я степень оператора дифференцирования есть оператор n -kpaтного дифференцирования Dn [f (t)] = f (n) (t). Произведение lА оператора А на число l определяется формулой
(lА )(х ) = lА (х ).
Оператор Е , переводящий всякий элемент х в самого себя, называется единичным. Нулевым называется оператор О , переводящий каждый элемент в нуль. Очевидно, что при любом А справедливы равенства: AE = EA = А и А+О = О + А = А , далее, если, А –1 существует, то А –1 А = AA –1 = Е (следует заметить, что для двух произвольных операторов А и В произведения AB и BA , вообще говоря, не равны между собой).
С помощью операций сложения, умножения операторов и умножения операторов на числа можно определить многочлены от линейного оператора, а путём предельного перехода, понимаемого соответствующим образом, — и более сложные функции от оператора. Например, если D — оператор дифференцирования, то eD означает оператор, определяемый формулой
имеющий смысл для тех f (t ), для которых ряд справа сходится. Для аналитических функций сумма этого ряда равна f (t + 1), т. е. eD — оператор сдвига, переводящий f (t ) в f (t + 1).
Линейные операторы в гильбертовом пространстве . Наиболее полно О. т. разработана для случая линейных операторов в гильбертовом пространстве . Пусть А — ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве H . Комплексное число l называется собственным значением оператора А , если существует такой элемент х ¹ 0 из H , что А (х ) = lх ; при этом х называется собственным вектором оператора А , отвечающим данному собственному значению. Число l называется регулярной точкой оператора А , если оператор (А + lЕ )–1 существует, определён на всём Н и ограничен; остальные значения l называется точками спектра оператора А . Каждое собственное значение принадлежит спектру, их совокупность образует точечный спектр, остальную часть спектра называется непрерывным спектром. Тот факт, что спектр линейного оператора, вообще говоря, не исчерпывается его собственными значениями, представляет собой характерную черту линейных операторов в бесконечномерном пространстве, отличающую их от линейных преобразований конечномерного евклидова пространства.
Оператор А * называется сопряжённым к А , если скалярное произведение (Ax , у ) = (х , А *у ) для всех х и у из Н . Оператор А называется самосопряжённым, если А = А* , и унитарным, если А* = А –1 . Самосопряжённые и унитарные операторы представляют собой важнейшие и наиболее полно изученные классы линейных операторов в гильбертовом пространстве. Их теория является обобщением теории самосопряжённых и унитарных линейных преобразований n -мерного евклидова пространства. См. также Спектральный анализ (математический).
Одним из простейших классов ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются вполне непрерывные операторы. Оператор А называется вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество из Н в компактное (см. Компактность ). Спектр вполне непрерывного оператора состоит из конечного или бесконечного счётного числа собственных значений и не имеет отличных от нуля предельных точек. Каждому l ¹ 0 отвечает лишь конечное число линейно независимых собственных функций. Непрерывный спектр отсутствует.
Самосопряжённый вполне непрерывный оператор А имеет хотя бы одно собственное значение, причём в Н можно выбрать полную ортогональную систему элементов, состоящую из собственных функций оператора А .
Неограниченные операторы . Понятие ограниченного линейного оператора оказывается во многих случаях слишком узким. Поэтому возникла необходимость рассматривать т. н. неограниченные операторы. Соответствующее, более общее, определение гласит: оператор А называется линейным неограниченным оператором в гильбертовом пространстве Н , если: 1) соответствие у = А (х ) определено для всех х , принадлежащих некоторому линейному многообразию W, называемому областью определения оператора A ; 2) А (aх + by ) = aА (х ) + bA (y ).