А. Д. Головня.
(обратно)
Опера'торы
в квантовой теории, математическое понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики
и квантовой теории поля
и служащее для сопоставления определённому вектору состояния (или волновой функции) y др. определённых векторов (функций) y'. Соотношение между y и y' записывается в виде y'
= y, где
— оператор. В квантовой механике физическим величинам (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставятся в соответствие О. (О. координаты, О. импульса и т.д.), действующие на вектор состояния (или волновую функцию) y, т. е. на величину, описывающую состояние физической системы.
Простейшие виды О., действующих на волновую функцию y(х
) (где х
— координата частицы), — О. умножения (например, О. координаты ,
y = х
y) и о. дифференцирования (например, О. импульса , y =
, где i
— мнимая единица, — постоянная Планка). Если y — вектор, компоненты которого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет собой квадратную таблицу — матрицу
.
В квантовой механике в основном используются линейные операторы
. Это означает, что они обладают следующим свойством: если y1
=
y'1
и y2
=
y'2
, то (c
1
y1
+ c
2
y2
) = c
1
y'1
+ c
2
y'2
, где c
1
и с
2
— комплексные числа. Это свойство отражает суперпозиции принцип
—
один из основных принципов квантовой механики.
Существенные свойства О. определяются уравнением yn
= ln
yn
, где ln
— число. Решения этого уравнения yn
называется собственными функциями (собственными векторами) оператора . Собственные волновые функции (собственные векторы состояния) описывают в квантовой механике такие состояния, в которых данная физическая величина L
имеет определённое значение ln
. Числа ln
называется собственными значениями О. , а их совокупность — спектром О. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение, определяющее y n
, имеет решение при любом значении ln
(в определённой области), во втором — решения существуют только при определённых дискретных значениях ln
. Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Например, О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от характера действующих в системе сил — непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собственные значения О. энергии называются энергетическими уровнями.
Собственные функции и собственные значения О. физических величин должны удовлетворять определённым требованиям. Т. к. непосредственно измеряемые физич. величины всегда принимают веществ. значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь веществ. собств. значения. Далее, поскольку в результате измерения физич. величины в любом состоянии y должно получаться одно из возможных собств. значений этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. функций (векторов) yn
О. этой физич. величины; др. словами, совокупность собств. функций (векторов) должна представлять полную систему. Этими свойствами обладают собств. функции и собств. значения т.н. самосопряжённых О., или эрмитовых операторов
.
С О. можно производить алгебраич. действия. В частности, под произведением О. 1
и 2
понимается такой О.
=
12
, действие которого на вектор (функцию) y даёт y = y’’, если 2
y = y’ и 1
y’
= y’’.
Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, т. е
.
12
¹
21
. Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух О. тесно связана с возможностью одновременного измерения физических величин, которым отвечают эти О. Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических величин является равенство 1