Преобразования Пуанкаре оставляют инвариантной величину, называемую интервалом sAB между событиями А , В , которая определяется соотношением:
s 2 AB = c 2 (tA – tB )2 – (xA – xB )2 – (yA – yB )2 – (zA – zB )2 . (6)
Математически инвариантность s аналогична инвариантности расстояния при преобразованиях движения в евклидовой геометрии. Величины ct , х , у , z можно рассматривать как четыре координаты события в четырёхмерном пространстве Минковского: х 0 = ct , х 1 = х , x 2 = у , x 3 = z , которые являются компонентами четырёхмерного вектора.
Если вместо x 0 ввести мнимую координату x 4 = ix 0 = ict , то произвольное преобразование Пуанкаре можно записать в виде, полностью аналогичном формуле, описывающей вращения и сдвиги в трёхмерном пространстве.
Вследствие того, что квадраты разностей временны'х и пространственных координат входят в (6) с разными знаками, знак s 2 может быть различным; геометрия такого пространства отличается от евклидовой и называется псевдоевклидовой. В такой геометрии интервалы разделяются на три типа: s 2 < 0, s 2 > О и s 2 = 0. Интервалы первого и второго типа называются соответственно времениподобными и пространственноподобными. Если s 2 ³ 0, знак tA – tB не зависит от системы отсчёта. Это тесно связано с принципом причинности. Действительно, если s 2 ³ 0 и (для определённости) tA < tB , то события А и В могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью u £ с , т.е. А может быть причиной В . Обычные представления о причинности требуют тогда, чтобы в любой системе отсчёта событие В следовало за событием А . Инвариантность условия s 2 = 0 непосредственно выражает инвариантность скорости света. Если s 2 < 0, то знак tA – tB может быть различным в разных и. с. о. Однако это не противоречит причинности, т.к. такие события не могут быть связаны никаким взаимодействием.
Если s 2 < 0, то существует такая система отсчёта, в которой события А и В одновременны; в этой системе s 2 = –l 2 , где l — обычное расстояние. При s 2 > 0 существует система отсчёта, в которой события А и В происходят в одной точке.
В классической физике требование инвариантности законов физики относительно преобразований Лоренца означает, что любые физические величины должны преобразовываться как скаляры , векторы или тензоры в пространстве Минковского. Правила вычислений с такими величинами даются тензорным исчислением. Использование тензорного исчисления позволяет записывать законы физики в таком виде, что их лоренц-инвариантность становится непосредственно очевидной.
Законы сохранения в теории относительности и релятивистская механика
В О. т., так же как в классической механике, для замкнутой физической системы сохраняется импульс р и энергия Е . Трёхмерный вектор импульса вместе с энергией образует четырёхмерный вектор импульса-энергии с компонентами Е /с , р , обозначаемый как (Е /с , р ). При преобразованиях Лоренца остаётся инвариантной величина
E 2 – (cp) 2 = m 2 c 4 , (7)
где m – масса покоя частицы. Из требований лоренц-инвариантности следует, что зависимость энергии и импульса от скорости имеет вид
Энергия и импульс частицы связаны соотношением р = Eu /c 2 . Это соотношение справедливо также для частицы с нулевой массой покоя; тогда u = с и р = Е/с. Такими частицами, по-видимому, являются фотоны (g) и электронные и мюонные нейтрино. Из (8) видно, что импульс и энергия частицы с m ¹ 0 стремятся к бесконечности при u ® с .
Обсуждалась возможность существования объектов, движущихся со скоростью, большей скорости света (т. н. тахионов). Формально это не противоречит лоренц-инвариантности, но приводит к серьёзным затруднениям с выполнением требования причинности.
Масса покоя т не является сохраняющейся величиной. В частности, в процессах распадов и превращений элементарных частиц сумма энергий и импульсов частиц сохраняется, а сумма масс покоя меняется. Так, в процессе аннигиляции позитрона и электрона е + + е– ® 2g сумма масс покоя изменяется на 2 m е .
В системе отсчёта, в которой тело покоится (такая система отсчёта наз. собственной), его энергия (энергия покоя) есть Е 0 = mс 2 . Если тело, оставаясь в покое, изменяет своё состояние, получая энергию в виде излучения или тепла, то из релятивистского закона сохранения энергии следует, что полученная телом энергия DЕ связана с увеличением его массы покоя соотношением DЕ = Dmc 2 . Из этого соотношения, названного Эйнштейном принципом эквивалентности массы и энергии, следует, что величина Е 0 = mc 2 определяет максимальную величину энергии, которая может быть «извлечена» из данного тела в системе отсчёта, в которой оно покоится.