,
откуда вытекает, что для идеального газа
внутренняя энергия не зависит от объёма 
= 0. Термодинамика показывает, что для вычисления как термического, так и калорического У. с., достаточно знать любой из потенциалов термодинамическихв
виде функции своих параметров. Например, если известна Гельмгольцева энергия
F
как функция Т
и V,
то У. с. находят дифференцированием: 
, 
.
Примерами У. с. для газов может служить Клапейрона уравнение для идеального газа p u = RT, где R – газовая постоянная , u – объём 1 моля газа;
Ван-дер-Ваальса уравнение
,
где а
и b
– постоянные, зависящие от природы газа и учитывающие влияние сил притяжения между молекулами и конечность из объёма, вириальное У. с. для неидеального pu / RT = 1 + B (T
)/
u +
С (Т
)/ u2 +
.., где В
(Т
), С
(Т
)... –
2-й, 3-й и т.д. вириальные коэффициенты, зависящие от сил взаимодействия между молекулами (см. Газы
).
Это уравнение является наиболее надёжным и теоретически обоснованным У. с. для газов и позволяет объяснить многочисленные экспериментальные результаты на основании простых моделей межмолекулярного взаимодействия
.
Были предложены также различные эмпирические У. с., основанные на экспериментальных данных о теплоёмкости и сжимаемости. У. с. неидеальных газов указывает на существование критической точки (с параметрами pk, Vk, Tk
),
в которой газообразная и жидкая фазы становятся идентичными (см. Критическое состояние
).
Если У. с. представить в виде приведенного У. с., т. е. в безразмерных переменных p/pk, V/Vk, T/Tk,
то при не слишком низких температурах это уравнение мало меняется для различных веществ (закон соответственных состояний
).
Для равновесного излучения, или фотонного газа, У. с. определяется Планка законом излучения для средней плотности энергии.
Для жидкостей из-за сложности учёта всех особенностей взаимодействия молекул пока не удалось теоретически получить общее У. с. Уравнение Ван-дер-Ваальса хотя и применяют для качественной оценки поведения жидкостей, но оно по существу неприменимо ниже критической точки, когда возможно сосуществование жидкой и газообразной фаз. У. с., хорошо описывающее свойства ряда простых жидкостей, можно получить из приближённых теорий жидкого состояния типа теории свободного объёма или дырочной теории (см. Жидкость ). Знание распределения вероятности взаимного расположения молекул (парной корреляционной функции) принципиально позволяет вычислить У. с. жидкости, но эта задача очень сложна и полностью ещё не решена даже с помощью вычислительных машин.
Для твёрдых тел термическое У. с. определяет зависимость модулей упругости от температуры и давления. Оно может быть получено на основании теории теплового движения в кристаллах, рассматривающей фононы и их взаимодействие, но пока общего У. с. для твёрдых тел не найдено.
Для магнитных сред элементарная работа при намагничивании равна dA = -Н dМ, где М – магнитный момент, Н – напряжённость магнитного поля. Следовательно, зависимость М = М (Н, Т ) представляет собой магнитное У. с.
Для электрически поляризуемых сред элементарная работа при поляризации равна dA = -Е dР где Р - поляризация, Е - напряжённость электрического поля, следовательно, У. с. имеет вид Р = (Е, Т ).
Лит.: Хилл Т., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1960; Вукалович М. П., Новиков И. И., Уравнение состояния реальных газов, М. – Л., 1948; Мейсон Э., Сперлинг Т., Вириальное уравнение состояния, пер. с англ., М., 1972; Лейбфрид Г., Людвиг В., Теория ангармонических эффектов в кристаллах, пер. с англ., М., 1963. См. также лит. при статьях Статистическая физика и Термодинамика .
Д. Н. Зубарев.
Уравнения математической физики
Уравне'ния математи'ческой фи'зики, дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для теории У. м. ф. характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физического явления. Круг У. м. ф. с расширением области применения математического анализа также неуклонно расширяется. При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения и задачи более общего вида, чем те, которые появляются при анализе конкретных явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физическое истолкование (см. Математическая физика ).
Классификация уравнений математической физики. Значительная часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:
, (1)
где все коэффициенты aij (aij = aij ), bi, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2,..., хп (n ³ 2), а u – искомая функция тех же аргументов. Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно l) уравнения
= 0, (2)
и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками. Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n – 1 корней, – к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, – к параболическому типу. Если коэффициенты aij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x1,..., хп, то и корни уравнения (2) зависят от x1,..., хп, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов. В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется. Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).