Преимущество алгебры, однако, в том, что можно выйти за рамки таких теоретико-бытийных, качественных, чисто философских утверждений и контрутверждений, которые, в конце концов, могут обосновать любую схему предполагаемых фактов. Можно стать немного научнее и сосредоточиться на относительной важности того или иного эффекта. Например, предположим, что функции I(.) и F(.) являются функциями Кобба-Дугласа, т.е. имеют постоянные экспоненты по каждой переменной (вы спросите почему: потому что это математически удобно, и потому что начинать с постоянных величин - разумный первый шаг, если у вас нет априорных знаний о том, как они будут меняться, и нет особых причин предполагать, что они меняются эндогенно). Затем берем скорости изменения каждой переменной (используя звездочку * для обозначения скорости изменения переменной, предшествующей *, и соответствующие греческие буквы для обозначения эластичности - экспоненциальных коэффициентов переменной, следующей за ней), и получаем, очевидно, следующее:
Q* = [ δD* + βB* + ρR*] + [κK* + λs* + λL*]
Если вы любите мыслить логарифмами, то это же выражение можно преобразовать в логарифмически-линейное. В любом случае оно справедливо без условий взаимодействия только для малых изменений переменных, но может быть легко (хотя и долго) переписана с учетом условий взаимодействия. Так следует написать, если вас интересует конкретное взаимодействие, например, между K* и D*, процентным изменением накопления физического капитала и достоинством господина Денежного Мешка.
Уравнение можно выразить в расчете на душу населения, вычтя из обеих сторон L*:
(Q/L)* = [ δD* + βB* + ρR*] + [κK* + λs* + (λ - 1)L*]
С помощью такого уравнения можно сделать сколько угодно "лисьих" выводов. (Повторюсь: это всего лишь переформулировка ранее высказанных соображений, а не новые захватывающие идеи). Если переменная квалификации измеряется, например, в годах образования, то наклон s относительно лет образования будет весьма мал, относительно огромного изменения, которое должно быть объяснено в Великом факте, во всяком случае, если судить по кросс-секционным исследованиям отдачи от образования. Выпускник колледжа не в десять раз лучше по вкладу в Q, чем выпускник средней школы (оскорбительная гипотеза, на первый взгляд, и глупая, если вы действительно знакомы с выпускниками не колледжа). Это могло бы сработать, если бы колледж точно отбирал крошечную элиту гениев. Но на самом деле такой отбор не может быть точным, как показала история британского экзамена Eleven Plus или как показала неспособность Эйнштейна в первый момент получить академическую работу. Таким образом, уравнение наглядно показывает, почему можно сомневаться в силе образования.
С другой стороны, инновационные переменные D, B и даже R могут сами по себе улучшаться за счет образования. Вы можете увидеть причины для этого: более высокий уровень квалификации, s, приводит к более высокому достоинству, D, из-за восхищения квалифицированными буржуа, или из-за лучшего понимания технических вопросов, необходимых для инноваций; или, действительно, потому что обучение экономике (мой собственный скромный вклад в s) может привести людей к восхищению свободой в экономических вопросах, и таким образом достичь более высокого B. Однако я еще раз говорю, что эффект "s" может быть и часто был порочным, развращая хороших буржуазных мальчиков, воспитывая их в убеждении, что буржуазия вообще не имеет достоинства, или развращая хороших буржуазных девочек, которые становятся государственными бюрократами, преданными вере в то, что буржуазная свобода должна быть уничтожена. В 1841 г. Маркс получил степень доктора философии в Йене. Лидер марксистов "Сияющего пути" в Перу был профессором философии. Значительная часть гитлеровских офицеров СС имела высшее гуманитарное образование. Немецкие инженеры строили газовые камеры. Отличные компьютерные инженеры обеспечивают китайскую цензуру в Интернете.
Точно так же, если не предполагать или (что маловероятно) фактически не измерять экономию от масштаба, которая сделала бы эластичность κ большой, даже большое процентное изменение K не может объяснить то, что должно быть объяснено ростом дохода на человека. Экономия от масштаба могла бы объяснить современный мир, если бы она действительно присутствовала и в другие времена и в других местах. Но, по-видимому, их не было в другие времена и в других местах, что заставляет задуматься, почему их не было, если предполагается, что они внезапно появились в Англии в 1700 году. А в реальном измерении (с доски теорем существования) экономия от масштаба оказывается скромной, увеличивая сумму коэффициентов в переменных F(.) с 1,0 по Коббу-Дугласу до, возможно, 1,1. По соображениям конкуренции и теории распределения предельной производительности, доля капитала в вознаграждении факторов производства является рассматриваемой эластичностью, здесь κ (строго в отсутствие эффекта масштаба: а если экономия мала, то приблизительно). В современных экономиках эта эластичность невелика (порядка 0,10 или 0,20), хотя при больших земельных массивах она больше.