Рис. 9
Другая фундаментальная проблема, которую Платон подробно исследовал, – это природа математического доказательства как процесса, основанного на аксиомах и постулатах. Аксиомы – это основополагающие утверждения, истинность которых считается самоочевидной. Например, первая аксиома евклидовой геометрии гласит: «Между любыми двумя точками можно провести прямую». В «Государстве» Платон прекрасно сочетает понятия о постулатах и о мире математических форм.
…Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно. Исходя из этих положений, они разбирают уже все остальное и последовательно доводят до конца то, что было предметом их рассмотрения… Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором (курсив мой. – М. Л.).
Представления Платона заложили основу платонизма – такое название получили его идеи в философии вообще и в проблеме природы математики в частности[19]. Платонизм в самом широком смысле слова предполагает веру в некие вечные, незыблемые абстрактные объекты, абсолютно независимые от эфемерного мира, которые мы воспринимаем посредством органов чувств. Согласно платонизму, реальное существование математических понятий – столь же объективный факт, сколь и существование самой Вселенной. Существуют не только натуральные числа, окружности и квадраты, но и мнимые числа, функции, фракталы, неевклидовы геометрии, бесконечные множества, а также самые разные теоремы, которые их описывают. Короче говоря, каждое математическое понятие или «объективно истинное» суждение (подробнее об этом чуть позже), когда бы то ни было сформулированные или возникшие в чьем-то воображении, и бесконечное количество понятий и утверждений, еще не открытых, – все это абсолютные сущности, или универсалии, которые нельзя ни создать, ни уничтожить. Они существуют независимо от наших знаний о них. Нет нужды говорить, что это не физические объекты, они обитают в автономном мире вечных сущностей. Математики для платонизма – исследователи неведомых земель, они могут лишь открыть математические истины, но не изобрести их. Америка существовала задолго до того, как ее открыл Колумб (или Лейф Эриксон), – так и математические теоремы существовали в платоновском мире задолго до того, как вавилоняне приступили к математическим изысканиям. Для Платона подлинно, в полной мере существуют лишь эти абстрактные математические формы и идеи, поскольку лишь в математике, по его мнению, можно обрести совершенно точные и объективные познания. Следовательно, по Платону, математика тесно связана с божественным (подробнее об этом см. Mueller 2005). В диалоге «Тимей» бог-творец формирует мир при помощи математики, а в «Государстве» знание математики становится главным шагом на пути к познанию божественных форм. Платон не применяет математику для формулировки некоторых законов природы, которые можно проверить экспериментально. Для него математический характер мира – всего лишь следствие того, что «Бог всегда остается геометром».
Платон распространил идеи «истинных форм» и на другие дисциплины, в особенности на астрономию. Он считал, что при изучении подлинной астрономии «мы должны оставить небеса в покое»[20] и не пытаться рассчитывать взаимное положение и видимое движение звезд. Платон полагал, что истинная астрономия – это наука, изучающая законы движения в некоем идеальном математическом мире, движения, для которого наблюдаемые небеса – лишь иллюстрация (в том же смысле, в каком геометрические фигуры, начерченные на папирусе, лишь иллюстрируют истинные фигуры).
19
Интересное обсуждение платонизма и его места в философии математики см. в книгах Tiles 1996, Mueller 1992, White 1992, Russell 1945, Tait 1996. Превосходное популярное изложение можно найти в Davis and Hersh 1981, Barrow 1992.
20
Платон рассуждает об астрономии и движении планет в «Государстве» (Plato ок. 360 до н. э.), в «Тимее» и в «Законах». Следствия точки зрения Платона обсуждаются в Vlostos 1975 и Mueller 1992.