Оригинальность мышления и внимание к мелочам характерны для трудов многих греческих математиков. И, тем не менее, методы рассуждений и поиска решения, которые разработал Архимед, выделяют его из рядов всех ученых того времени. Приведу лишь три показательных примера, дающие возможность оценить масштабы изобретательности Архимеда. Один на первый взгляд кажется всего лишь забавным курьезом, однако при более пристальном рассмотрении показывает всю глубину пытливого ума Архимеда. Остальные два примера показывают, насколько методы Архимеда опережали время – вот почему я считаю, что именно они возвышают Архимеда до положения «волшебника».
Судя по всему, Архимед очень увлекался большими числами. Однако очень большие числа неудобно записывать обычным способом, они слишком громоздкие (попробуйте хотя бы выписать чек на 8,4 триллиона долларов, национальный долг США на июнь 2006 года, и втиснуть это число в строчку, выделенную под сумму). Поэтому Архимед разработал систему, позволявшую записывать числа длиной до 80 000 триллионов знаков. Затем он применил эту систему в оригинальном трактате под названием «Псаммит» («Исчисление песчинок»), где доказал, что общее количество песчинок в мире не бесконечно.
Даже введение в трактат столь гениально, что я приведу здесь отрывок из него (все сочинение посвящено Гелону, сыну царя Гиерона II) (Heath 1897).
Государь Гелон!
Есть люди, думающие, что число песчинок бесконечно. Я не говорю о песке в окрестности Сиракуз и других местах Сицилии, но о всем его количестве как в странах населенных, так и необитаемых.
Другие думают, что хотя число это и не бесконечно, но большего представить себе невозможно.
Если бы эти последние вообразили массу песку в объеме земного шара, причем им были бы наполнены все моря и пропасти до вершин высочайших гор, то, конечно, они еще меньше могли бы поверить, что легко назвать число, его превосходящее.
Я, напротив, постараюсь доказать с геометрической точностью, которая убедит тебя, что между числами, упоминаемыми мной в книге, написанной Зевксиппу [к сожалению, она утрачена], есть числа, превышающие число песчинок, которые можно вместить не только в пространстве, равном объему Земли, наполненной указанным выше способом, но и целого мира.
Ты знаешь, что, по представлению некоторых астрономов, мир имеет вид шара, центр которого совпадает с центром Земли, а радиус равен длине прямой, соединяющей центры Земли и Солнца.
Но Аристарх Самосский в своих «Предложениях», написанных им против астрономов, отвергая это представление, приходит к заключению, что мир гораздо больших размеров, чем только что указано.
Он полагает, что неподвижные звезды и солнце не меняют своего места в пространстве, что Земля движется по окружности около Солнца, находящегося в ее центре, и что центр шара неподвижных звезд совпадает с центром Солнца, а размер этого шара таков, что окружность, описываемая, по его предположению, Землей, находится к расстоянию неподвижных звезд в таком же отношении, в каком центр шара находится к его поверхности (здесь и далее пер. Г. Попова).
Из этого введения тут же следует два вывода: (1) Архимед был готов оспорить даже самые популярные представления (вроде бесконечности числа песчинок) и (2) он с уважением относился к гелиоцентрической модели астронома Аристарха (правда, далее в трактате он уточнил одну из гипотез Аристарха). Во Вселенной Аристарха Земля и планеты вращались вокруг неподвижного Солнца, находящегося в ее центре (вспомним, что эту модель предложили за 1800 лет до Коперника!). После этих предварительных замечаний Архимед вплотную приступает к решению задачи о песчинках и делает для этого несколько последовательных логических шагов. Сначала он оценивает, сколько песчинок нужно положить в ряд, чтобы получился диаметр макового зернышка. Затем подсчитывает, сколько нужно маковых зернышек, чтобы выложить отрезок, равный толщине пальца, сколько пальцев составляют стадий (около 178 метров), а затем подсчитывает количество песчинок на десять миллиардов стадиев. По ходу дела Архимед изобретает систему обозначений и индексов, которые в сочетании позволяют ему классифицировать эти исполинские числа. Поскольку Архимед предположил, что сфера неподвижных звезд менее чем в десять миллионов раз больше сферы, в которую вписана орбита Солнца (как она видится с Земли), то обнаружил, что количество песчинок во Вселенной, набитой песком, меньше 1063 (единицы с 63 нулями). В заключение трактата он почтительно обращается к Гелону.