Чтобы использовать 20 и 50 в качестве опорных чисел, необходимо уметь без проблем удваивать числа и делить их пополам.
Иногда, когда нам, например, приходится делить пополам двузначное число, у которого число десятков является нечетным, ответ не напрашивается сам собой. К примеру:
78: 2 =
Чтобы разделить пополам 78, вы могли бы 70 разделить на 2, потом 8, а затем сложить полученные результаты. Но есть способ еще проще.
78 = 80 — 2. Половина от 80 — 2 равняется 40 — 1. Это и есть ответ:
40 — 1 = 39
Чтобы удвоить 38, мысленно представьте это число в виде 40 — 2. Удвоенная величина будет 80 — 4, то есть 76.
Попробуйте сами решить следующие примеры:
а) 38 х 2 = ___; б) 29 х 2 = ___; в) 59 х 2 = ___; г) 68 х 2 = ___; д) 39 х 2 = ___; е) 47 х 2 =
Ответы:
а) 76; б) 58; в) 118; г) 136; д) 78; е) 94
А теперь решите такие примеры:
а) 38: 2 = ___; б) 56: 2 = ___; в) 78: 2 = ___; г) 94: 2 = ___; д) 34: 2 = ___; е) 58: 2 = ___; ж) 18: 2 = ___; з) 76: 2 = ___
Ответы:
а) 19; б) 28; в) 39; г) 47; д) 17; е) 29; ж) 9 з) 38
Этот же подход может быть использован для умножения и деления довольно больших чисел на 3 и 4. К примеру:
19 х 3 = (20 — 1) х 3 = 60 — 3 = 57
38 х 4 = (40 — 2) х 4 = 160 — 8 = 152
Если перемножаемые числа близки либо к 200, либо к 500, вычисления не представляют особого труда, поскольку и 200, и 500 легко использовать в качестве опорных чисел.
Как, например, нам найти произведение 216 х 216? Если использовать 200 в качестве опорного, пример решается легко, в том числе и в уме:
Вычисляем 16 х 16, взяв 10 в качестве опорного числа.
А как насчет 512 х 512?
512 х 500 равно произведению 524 х 1000, деленному на 2.
524 х 1000 = 524000, или 524 тысячи.
Половина от 524 тысяч равняется 262 тысячам.
Для деления 524 тысяч пополам можно разбить его на 500 тысяч и 24 тысячи. Половину обоих чисел легко вычислить в уме. Половина от 500 тысяч равна 250 тысячам. Половина от 24 тысяч равна 12 тысячам. 250 тысяч плюс 12 тысяч дает 262 тысячи.
Теперь перемножим числа в кружках:
12 х 12 = 144
262000 + 144 = 262144 ОТВЕТ
Попробуем найти произведение 6 х 4:
Мы используем в качестве опорного число 10. Кружки рисуем ниже множителей, потому что и 6, и 4 меньше 10. Вычитаем накрест:
6 – 6 = 0 или 4 – 4 = 0
Теперь перемножим числа в кружках:
4 х 6 =
Мы вернулись к исходной задаче (6 х 4). Метод как будто бы ничем нам не помог. Можно ли заставить его работать и для таких случаев? Можно, но для этого необходимо использовать другое опорное число. Попробуем взять в качестве такового число 5. 5 — это 10, деленное на 2, или половина 10. Умножение на 5 проще всего производить путем умножения на 10 и деления результата на 2.
6 больше 5, поэтому для него рисуем кружок выше. 4 меньше 5, поэтому для него кружок рисуется ниже. 6 больше 5 на 1, как и 4 меньше 5 на 1, поэтому вписываем 1 в каждый из кружков.
Накрест складываем 4 и 1 или вычитаем 1 из 6:
6 – 1 = 5 или 4 + 1 = 5
Умножаем 5 на опорное число, которое тоже равно 5.
Для этого умножаем сначала на 10, что дает нам 50, а затем делим результат на 2, получая 25. Теперь перемножаем числа в кружках:
1 х -1 = -1
Поскольку результат является отрицательным числом, мы вычитаем его из промежуточного ответа, а не прибавляем к нему:
25 — 1 = 24
Таким образом:
Это очень длинный и громоздкий способ перемножения небольших чисел, но он показывает, что данный метод можно заставить работать во всех случаях, проявив немного изобретательности. Более того, подобные подходы помогают развить способность к латеральному мышлению, которое очень важно для математика и вообще для любого человека, если он желает добиться в жизни успеха.
Разберем еще один пример, даже если вы хорошо знаете таблицу умножения:
Вычитаем накрест:
4 – 1 = 3
Умножим результат на опорное число:
3 х 10 = 30
30: 2 = 15
Теперь перемножим числа в кружках:
1 х 1 = 1