Примерно в то время появился ряд статей великого математика Бореля, касающихся другого предмета, называемого квазианалитические функции, отдаленно соприкасающегося с упомянутым выше предметом. Новизна работы Бореля в то время заключалась в том, что он поставил задачу в зависимость не от размера числа, а от конвергенции и дивергенции ряда. И меня осенило, что моя задача, касающаяся сингулярных точек на границе функции потенциала, вполне может иметь ответ в том виде вместо вида определения какого-то конкретного числа, как предлагалось в более ранних попытках решения этой задачи. Как бы то ни было, я попотел над ответом, и мое предположение оказалось правильным. С помощью моего мексиканского студента, Мануэля Сандоваля Болльярты, позже ставшего профессором в Массачусетском технологическом институте и одной из ярчайших звезд на небосклоне мексиканской науки, я перевел мою статью на французский и отправил ее профессору Генри Лебегу для опубликования в «Comptes Rendus» («Труды») Французской Академии наук. Я поступил так, поскольку не так давно познакомился с рядом статей Лебега и молодого математика по фамилии Булиган, подходивших слишком уж близко к полному решению задачи, интересовавшей меня, что сняло бы необходимость писать в литературе о ней.
Оказалось, что после того, как я отправил свою статью, но до того, как она была получена, Булиган отдал запечатанный конверт, содержавший очень похожий результат на хранение Лебегу, чтобы сохранить за собой право на первооткрывателя в этой области. Булиган и я «одновременно подошли к финишу», и когда дошла моя статья, Лебег посоветовал Булигану вскрыть конверт. Эти две статьи были опубликованы рядом в «Comptes Rendus». Результаты в значительной мере были одинаковы, хотя мне приятно сознавать, что моя формулировка задачи логически несколько более полная.
Этот случай послужил началом дружбы между мной и Булиганом, продолжающейся по сей день; когда впоследствии я приехал навестить его в Пуатье, он встречал меня на станции с копией моей статьи по этому предмету, чтобы я смог узнать его.
Летом 1920 года в Страсбурге состоялся конгресс математиков. Хотя этот конгресс был в некотором роде ограничен, поскольку немцы не были допущены к участию в нем, я приехал на него. Это была моя первая возможность принять участие в обсуждении математических проблем на международном уровне. Я работал вместе с Фреше, бывшим в то время профессором в Страсбурге, и провел часть моего летнего отпуска в отеле в Вогезах, рядом с тем местом, где он жил.
В результате моей работы я принял участие в создании двух статей по исследованиям, приобретшим определенное значение лишь по прошествии какого-то времени. Я превратил мою довольно несообразную и формальную работу по интегрированию и пространству функции в исследование броуновского движения, объединив его с идеями Эйнштейна и Смолуховского. Эта работа была некой внутренней стадией в развитии моих более поздних методов, которые я применил в теории передачи информации и в кибернетике.
Другая идея, которую я развил в моих беседах с Фреше, касалась обобщенного векторного пространства, для которого я создал ряд аксиом. Вскоре я обнаружил, что «поезд уже ушел», всего лишь несколько месяцев назад эта теория относительно того же самого пространства была разработана и изучена Банахом в Польше. Хотя мы продвигались почти с одинаковой скоростью, я, в конце концов, решил оставить Банаху эту область для полного раскрытия, поскольку степень ее абстрактности создала у меня впечатление, что она далека от осязаемой текстуры математики, дававшей мне наивысшее эстетическое удовлетворение. Я не сожалею о том, что поступил согласно своему мнению в данном вопросе, поскольку за какое-то определенное время математик может сделать лишь определенное количество работы, и ему приходится распределять свои усилия. И самое лучшее для него работать в той области, где он получит наивысшее внутреннее удовлетворение.
Когда я вернулся в Массачусетский технологический институт, выяснилось, что инженеры-электрики начали рассчитывать на меня в разрешении очень серьезных логических сомнений, связанных с новыми и мощными методами передачи информации Оливера Хевисайда. Я оказался действительно способным провести успешную работу в этом направлении, и в ходе этой работы я обнаружил необходимость расширения теории ряда Фурье и интеграла Фурье в более широкую общую тригонометрическую теорию, включавшую в себя обе эти теории. Таким образом, когда Гаральд Бор из Копенгагена создал свою теорию почти периодических функций, я обнаружил, что это одна из областей, для которой я уже разработал соответствующие методы и создал два или три имеющих важность альтернативных подхода к этому новому предмету. Отношения между мной и Бором всегда были дружескими и оставались таковыми до последнего дня его жизни, он умер полтора года тому назад.