Величина освещенности на ПЗС-матрице (ИС на ПЗС) (или лицевой панели) Епзс в первую очередь зависит от яркости объекта L, а также от F-числа, т. е. собирающей способности линзы. Чем ниже F-число, тем больше света проходит через объектив (ниже мы еще рассмотрим этот вопрос). Эта величина также пропорциональна коэффициенту пропускания объектива т. А именно, в зависимости от качества стекла и производителя, а также от механики внутренних поверхностей, определенный процент света теряется в самом объективе.
Все вышеупомянутые факторы можно представить следующим соотношением:
Епзс = L∙τ∙π/4∙F2) [лк] (11)
Ниже мы покажем, как выводится это соотношение, чтобы люди, используя эти формулы, могли четко понимать, что здесь предполагается, а что аппроксимируется (11). Но поскольку для этого требуются более сложные математические выкладки, то читатели, не испытывающие к этому интерес или не имеющие соответствующей базы, могут просто воспользоваться соотношением (11) как оно есть, помня при этом, что L — это средняя яркость объекта (в люксах), — это коэффициент пропускания объектива (в процентах), F— это F-число и равно 3.14.
Объект, находящийся в поле зрения камеры и освещенный источником света, испускает свет практически во всех направлениях, в зависимости от функции отражения. На практике объект с гладкими поверхностями в большинстве случаев может считаться ламбертовской равномерно рассеивающей поверхностью.
Тогда можно рассматривать поток, проходящий через полусферу радиуса r с центром ds. Пусть dθ — это приращение угла θ к нормали, тогда поток в объеме, образованном вращением угла dθ проходит через окружность на поверхности сферы, причем радиус окружности равен r dθ, длина — 2π∙r2∙sinθ∙dθ.
Рис. 2.10. Ламбертовская рассеивающая поверхность
Эта элементарная площадка на поверхности сферы задается следующим соотношением:
dA = 2π∙r2∙sinθ∙dθ (12) и тогда телесный угол ω, стягиваемый конусом в центре сферы, задается соотношением:
ω = dA/r2 = 2π∙r2∙sinθ∙dθ/r2 = 2π∙sinθ∙dθ [стерадиан] (13)
поскольку сила света на ламбертовской поверхности (поток в стерадиане) в заданном направлении пропорциональна косинусу угла к нормали, а сила света полной поверхности в направлении нормали равна I, то под углом θ она будет равна I∙cosθ
Сила света dI элементарной площадки ds равна:
dI = I∙cosθ∙ds /s [люмен/стерадиан = кандел] (14)
поскольку I/s это действительная освещенность L в перпендикулярном направлении, то вышеприведенное соотношение принимает вид:
dI = L∙cosθ∙ds [кд] (15)
Элементарный поток dF равен элементарной силе света dI, помноженной на телесный угол:
dF = L∙cosθ∙ds∙2π∙sinθ∙dθ [лм] (16)
Общий поток в конусе, образованном углом θ можно найти интегрированием от 0 до θ:
[лм] (17)
Если мы хотим найти полный световой поток, испускаемый во всех направлениях, то нужно положить угол θ равным 90°, тогда получим:
Ft = L∙π∙ds [лм] (18)
Теперь, если нам надо сосчитать поток в телесном угле, меньшем 90°, как это происходит в случае, когда камера направлена на объект, общий поток Ft задается формулой:
F0 = π∙L∙ds0∙sin2θ0 [лм] (19)
Если коэффициент пропускания линзы равен τ, то поток, падающий на плоскость ПЗС (или лицевую панель), равен:
FПЗС = F0∙τ = τ∙π∙L∙ds0∙sin2θ0
Освещенность ПЗС-матрицы (или лицевой панели) будет равна потоку, деленному на площадь, т. е.
EПЗС = τ∙π∙L∙ds0∙sin2θ0/dsПЗС [лк] (21)
Рис. 2.11. Вычисление светового излучения с помощью ламбертовской рассеивающей поверхности
Отношение (dsПЗС/ds0), обратное которому использовалось в предыдущей формуле, известно как коэффициент увеличения объектива m. Коэффициент увеличения может быть также аппроксимирован как отношение между фокусным расстоянием линзы и расстоянием от линзы до объекта
m = (f/D)2 = dsПЗС/ds0 (22)
Когда мы произведем подстановку этих отношений в нашу основную формулу, то получим:
EПЗС = π∙τ∙L∙sin2θ0∙(D/f)2 [лк] (23)
Здесь потребуется ввести еще одно отношение, связанное с объективом (d/f), которое также известно как F-число объектива. Для объектов, которые расположены достаточно далеко от телекамеры (а это типично в большинстве случаев для систем видеонаблюдения) будет справедливо следующее:
tgθ0 = d/2D = sinθ0/cosθ0 = sinθ0 (24)
Рис. 2.12. Вычисление количества света, падающего на ПЗС-матрицу
Такое допущение имеет право на существование, потому что для очень больших расстояний до объекта угол θ0 будет крайне мал, а значение косинуса этого угла будет стремиться к 1.
Таким образом, мы можем заменить sin2θ0 на (d/2D)2, и наше уравнение примет следующий вид:
EПЗС = π∙τ∙L∙(d/2D)2∙(D/f)2 [лк] (25)
Это уравнение можно упростить:
EПЗС = π∙τ∙L∙(d2/4D2)∙(D2/f2) = π∙τ∙L∙(d2/4f2) (26)
И, наконец, это уравнение преобразуется в упрощенную формулу для расчета количества света, попадающего в фотоприемник:
EПЗС = π∙τ∙L∙(4F2) [лк] (27)
Это очень удобная и полезная формула для приблизительного расчета освещенности фотоприемника, поскольку в ней используется только две переменные (яркость объекта и F-число объектива). Впрочем, не следует забывать: формула эта приблизительная, ее следует использовать только для грубых расчетов и только в тех случаях, когда выполняются условия, справедливые для вышеупомянутых допущений, то есть телекамера должна быть направлена на объект, рассеивающий свет примерно так же, как ламбертовская рассеивающая поверхность (в реальности так ведут себя большинство объектов, кроме зеркал и им подобных поверхностей), а сам объект должен быть расположен достаточно далеко (по сравнению с фокусным расстоянием) от телекамеры. Обычно коэффициент пропускания объектива меняется в пределах от 0.75 до 0.95.