4. Таблица логарифмов тангенсов для 10000 углов, на которые разбивается первый квадрант. Таблица аналогична таблице логарифмов синусов и рассчитана с той же степенью точности.
5. Таблица логарифмов отношений тангенсов к их дугам. Таблица аналогична соответствующей таблице логарифмов отношений синусов к их дугам.
6. Таблица логарифмов чисел от 1 до 10000, рассчитанная до 19 знаков.
7. Таблица логарифмов чисел от 10000 до 200000, рассчитанная с точностью до 14 знаков.
Фундаментальная работа, потребовавшая долгого и напряженного труда большого коллектива, — «Кадастр таблиц», как ее назвал Прони, — никогда не была опубликована. Причин было несколько. Одна из них заключалась в том, что деление окружности на 400 частей, а не на 360° имело существенный недостаток, так как 400 имеет меньше делителей чем 360.
Кроме того, с переходом к метрической системе потребовалось бы наряду с перерасчетом громадного числа таблиц (синусов, косинусов и др.) перепечатать тысячи томов математической литературы. В конечном счете дело ограничилось созданием двух экземпляров таблиц, каждый из семнадцати больших рукописных томов. В дальнейшем отдельные таблицы часто использовались в качестве контрольных. Ими пользовался впоследствии и Бэбидж, который для этой цели ездил в Парижскую обсерваторию, где хранились таблицы.
После окончания работ в Париже по составлению таблиц английское правительство обратилось к французскому с предложением напечатать эти таблицы обеими странами с равным распределением затрат. Хотя это предложение и не завершилось изданием таблиц, но в связи с переговорами по этому поводу в Париже была выпущена небольшая брошюра с описанием процесса вычисления таблиц.
После ознакомления с этой брошюрой Бэбидж решил применить метод Прони при создании своей машины. Точнее говоря, машина должна была заменить третью группу вычислителей, на которую в основном падала вся счетная работа.
В основу работы машины Бэбидж решил положить известное свойство многочленов, состоящее в том, что их конечные разности соответствующих порядков (зависящие от степени многочлена) равны нулю. Машину, работающую на этом принципе, он назвал разностной [1 Впервые идея разностной машины была высказана в 1786 г. немецким военным инженером из Гессена И. Мюллером. Но это было чисто теоретическое предложение, которое никто не пытался осуществить.].
Бэбидж отмечал, что на вопрос о принципе работы машины, он мог бы ответить четырьмя словами: здесь используется метод разностей. При этом он добавлял, что нa этот вопрос можно было бы ответить и шестью знаками: Δn Ux = 0, но такой ответ был бы непонятен спрашивающему, — саркастически замечал он [2 Δn Ux = 0 означает, что для многочлена n—1 степени Ux = а + bx + cx2 + ... + kxn-1 n-е разности равны 0.] [85, с. 51].
Для иллюстрации метода разностей приведем следующий простой пример: табулирование функции у=х3 + х + 1. В таблице 1 наряду со значениями функции у приведены значения конечных разностей: Δ1 (первые разности, или разности первого порядка), Δ2 (вторые разности) и Δ3 (третьи разности). Как видно из таблицы, первые разности получены вычитанием из каждого следующего значения функции ее предшествующего значения. С помощью аналогичной операции над первыми разностями получены вторые разности и т. д. При этом третьи разности данной функции (представляющей собой многочлен третьей степени) имеют одно и то же значение[3 Если функция представляет собой многочлен степени n, то при табулировании с постоянным шагом n-е разности постоянны.]. Далее, легко заметить, что суммируя по диагонали таблицы 1 конечные разности и соответствующее значение функции можно получить следующее значение данной функции. Например, 6+24+62+131=223. Именно это обстоятельство (возможность получения новых значений функции путем суммирования вычисленных ранее данных) Бэбидж решил использовать для механизации процессов составления таблиц с помощью специального устройства (разностной машины).
| X | Y | Конечные разности | ||
| Δ1 | Δ2 | Δ3 | ||
| 0 | 1 | 2 | 6 | 6 |
| 1 | 3 | 8 | 12 | 6 |
| 2 | 11 | 20 | 18 | 6 |
| 3 | 31 | 38 | 24 | 6 |
| 4 | 69 | 62 | 30 | |
| 5 | 131 | 92 | ||
| 6 | 223 |