В общем случае область применения разностной машины Бэбиджа сводилась к вычислению значений функций вида
y = a + bx + cx2+ ... + mxn-1.
Если требовалось рассчитать сумму сходящегося бесконечного ряда, то брали только первые п членов. При достаточно большом п функция, выраженная рядом, могла воспроизводиться достаточно точно и степень этой точности была известна.
| X | Y | Конечные разности | ||
| Δ1 | Δ2 | Δ3 | ||
| 0 | 1 | 2 | 6 | 6 |
| 1 | 3 | 8 | 12 | 7 |
| 2 | И | 20 | 19 | 3 |
| 3 | 31 | 39 | 22 | 9 |
| 4 | 70 | 61 | 31 | |
| 5 | 131 | 92 | ||
| 6 | 223 |
| X | Y | Δ1 | Δ2 |
| 0 | 2 | 0 | 2 |
| 1 | 2 | 2 | 4 |
| 2 | 4 | 6 | б |
| 3 | 10 | 6 | 6 |
| 4 | 16 | 12 | 8 |
| 5 | 28 | 20 | 8 |
| 6 | 48 | 28 | |
| 7 | 76 |
Принцип, положенный в основу разностной машины, мог быть использован для расчета, например кубов чисел, логарифмических и тригонометрических таблиц и т. п. При этом во многих случаях приходилось брать большое число разностей, прежде чем достигалось постоянное значение, а это, в свою очередь, означало, что на машине нужно было произвести довольно много действий, чтобы получить табличное значение функции.
Наряду с возможностью табулирования важным свойством машины, как писал Бэбидж, явилась «возможность ее использования, при небольших изменениях в конструкции, для расчета таблиц, чьи аналитические законы неизвестны» [85, с. 299].
Рассмотрим пример: в табл. 3 х представляет номер члена последовательности, а у — его значение. С помощью конечных разностей можно определить формулу задания данной функции целочисленного аргумента, затем ее вычисление продолжить на разностной машине. Бэбидж находит первые и вторые разности функции (см. табл. 3). Затем, анализируя таблицу, он выявляет, что величины вторых разностей, соответствующих последовательным значениям функции, всегда равны единицам этих значений (в таблице 3, во втором и четвертом столбцах, подчеркнуты равные между собой однозначные величины 2, 4, а также единицы двузначных чисел: 0 от 10; 6 от 16; 8 от 28 и т. д., соответственно равные вторым разностям 0, 6, 8 и т. д.).
На разностной машине можно рассчитать таблицу значений этой функции, но чтобы получить, скажем, ее значение при x=50, необходимо рассчитать все предыдущие значения. Бэбидж предлагает другой путь — аналитическое задание функции.