Путешествуя, Бэбидж посещал заводы, изучал различные технологические процессы обработки металлов. Во время путешествия он поддерживал связь с инженерами, работающими над разностной машиной, а вернувшись домой (в декабре 1828 г.), активно включился в работу.
На разностную машину требуется все больше средств. И о Бэбидже злословят как в научных кругах, так и в-литературных. Его критикуют за то, что до завершения разностной машины он просил финансовой поддержки у правительства для создания новой машины. Впоследствии считали даже, что Бэбидж присвоил себе 17 тысяч фунтов правительственных средств, хотя денежная документация у него была в идеальном порядке, учитывался каждый потраченный пенс.
К концу 1827 г. на машину было уже израсходовано 3475 фунтов стерлингов.
Перед поездкой на континент Бэбидж выделил еще 1000 фунтов из своих личных денег.
В процессе работы над разностной машиной Бэбидж выдвинул ряд проблем перед машиностроением, для их разрешения Бэбиджу иногда удавалось привлечь к работе очень способных инженеров.
Так, один из крупнейших английских инженеров Дж. Витворт (1803—1887) получил большой опыт, работая над разностной машиной Бэбиджа.
Ч. Бэбидж в возрасте 36 лет
Бэбидж уделял большое внимание сокращению времени выполнения операций и для этого неоднократно перерабатывал узлы машины. Обычно при сложении вручную складывают единицы исходных чисел, перенос, если он есть, запоминают и добавляют при сложении десятков чисел; затем запоминают перенос десятков и добавляют при сложении сотен и т. д. При работе на машине можно выполнить поразрядное сложение, запомнить переносы и затем осуществить их сложение с полученным числом; это и будет окончательная сумма.
Такое сложение выполняется в разностной машине с помощью механического способа переноса. Конструктивно это выглядит следующим образом: зубчатое колесо в машине имеет 10 зубцов, на которых нанесены цифры от 0 до 9; между 9 и 0 находится выступающий зуб. Зацепление зубчатых колес обеспечивает передачу цифр с одного колеса на другое. Когда колесо проходит от 9 до 0, выступающий зуб нажимает на определенный рычаг. Поэтому, как только окончится время, требуемое для сложения, любой перенос отмечается измененным положением рычага. На этом этапе заканчивается сложение цифр определенного разряда без учета переноса. Затем рычаг поворачивается и происходит перенос. В конструкции рычага предусмотрена возможность делать перенос таким образом, чтобы перейти к следующему разряду, т. е. от единиц к десяткам и т. д.
В процессе работы по усовершенствованию механизма и сокращению времени переноса Бэбидж сделал ряд изобретений, в результате чего в демонстрировавшейся на выставке 1862 г. части разностной машины время переноса было уменьшено в четыре раза по сравнению с первой моделью.
Из-за нехватки механизмов, квалифицированных сотрудников, денег, бесконечных поправок и изменений в конструкции машины — возникали многочисленные конфликты, работа продвигалась крайне медленно. Это привело к тому, что энтузиазм окружающих, в том числе и ученых, сменился недоверием. Постепенно от работы отвернулись почти все.
К началу 1833 г. небольшая часть машины все же была построена. Испытания показали, что она выполняет действия с запланированной точностью и скоростью.
Проявляя устойчивый интерес к проблемам теории чисел, Бэбидж рассчитал на своей машине таблицу значений функции x2 + x + 41, позволяющей получать простые числа. Вопросами теории чисел он занимался давно. Еще в 1819 г. в Эдинбургском Философском журнале Бэбидж опубликовал небольшую статью «Доказательство теоремы относительно простых чисел» [10]. В этой работе он доказывает, что —
(1 x 3 x 5 x ...(2n + 1))/n! x 2n-1 - 1
делится на n2 в том и только том случае, когда n простое число.
Еще Эйлер пытался найти формулу, которая давала бы исключительно простые числа. В результате этих поисков он указал несколько полиномов с целыми коэффициентами, принимающих для сравнительно большого числа начальных значений x = 0, 1, 2, ... величины, равные только простым числам. Среди этих полиномов наибольшее внимание привлек в дальнейшем квадратный трехчлен [1 Этим трехчленом математики занимаются вплоть до настоящего времени. Так, например, в 1899 г. Эскот, заменив в x2+x+41 x на x — 40, получил выражение х2 - 79x +1601, которое дает подряд 80 простых чисел при x = 0, 1, 2, ..., 79. В 1959 г. Трост при помощи электронной вычислительной машины составил таблицу значений для x2 + x + 41 при x от 0 до 11 000 и установил, что в этой таблице содержится 4506 простых чисел.] x2 + x + 41, который позволяет получить подряд 40 простых чисел при подстановке x = 0, 1, 2, ..., 39. Эйлер проверил получение простых чисел с помощью данного полинома при x = 0, 1, 2, ..., 15. Бэбидж на своей машине за 2,5 мин. получил 30 простых чисел, подставляя в x2 + x + 41 последовательно х - 1, 2, 3, ..., 30.