Слава богу, треугольники в кафе "Абракадабра" вовсе не пластмассовые, а вафельные. И с самой разной начинкой: шоколадные, фруктовые, сливочные, ореховые, миндальные. Мы перепробовали все, какие были, и так увлеклись, что не заметили, как кафе заполнилось публикой. Скоро все столики были заняты. К этому времени у нас оставалось всего-навсего три вафли. Все взяли по одной и хотели уже прикончить, но нас остановила Таня.
- Смотрите, - сказала она, - на моём треугольнике какая-то надпись.
Тогда и мы посмотрели и увидели, что на вафлях написано: "Треугольник Паскаля".
- Что-то вроде штампа фабрики, - сообразил Сева. - Как у нас "Красный Октябрь" или "Фабрика имени Бабаева".
- А это тоже фабрика Бабаева?
Таня перевернула треугольник другой стороной. Там били выпуклые числа. Мы сличили свои вафли; числа на всех были одинаковые.
Сначала нам показалось, что они расположены беспорядочно. Только слева и справа в каждом ряду обязательно стоит единица. Приглядевшись, мы увидели, что числа определённым образом чередуются. Вот, например, в пятом ряду: 1, 4, 6, 4, 1. В седьмом: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Мы заметили также, что если спускаться по левой стороне треугольника, в первом наклонном столбце написаны единицы, во втором- натуральный ряд чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9... Дальше числа стоят вразброд: 1, 3, 6, 10, 15, 21... А потом и того хуже: 1, 4, 10, 20, 35, 56. . .
- Одним словом, абракадабра! - проворчал Сева.
- Напрасно думаете, - заметила наша соседка, латинская буква Эс. - В этих числах есть определённый порядок, и разобраться в нём вовсе не трудно.
- Ну, где тут порядок? Где? - горячился Сева.
- Немножко наблюдательности - и вы перестанете спорить. Заметьте, что любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, стоящих над ним.
- Правда! - сказала Таня. - Число 28 из девятого ряда равно сумме семи и двадцати одного, которые стоят над ним.
- А 126 из десятого ряда равно сумме семидесяти и пятидесяти шести, сосчитал Сева.
- Вот видите! Никогда не торопитесь с выводами, - сказала Эс. - Часто то, что кажется неразберихой, на самом деле имеет строгий порядок. Надо только его обнаружить.
В том-то и задача каждого учёного.
- До чего интересный треугольник придумал Паскаль! - вздохнула Таня.
- О, в этом треугольнике ещё много замечательного. Сложите числа каждого ряда. В первом ряду так и будет единица. Во втором?
- Два.
- В третьем?
- Четыре. В четвёртом-восемь, в пятом-шестнадцать, затем-тридцать два, шестьдесят четыре...
- Слушайте! - закричал я. - Ведь это же разные степени числа два:
20 = 1;
21 = 2;
22 = 4;
23 = 8;
24 = 16;
25 = 32.
Мне показалось, что Эс посмотрела на меня одобрительно.
- Не кажется ли вам, - сказала она, - что все эти степени можно записать одним алгебраическим выражением: 2n-1 - два в степени эн минус единица?
- Почему же не просто два в степени эн?
- Оттого, что эн обозначает порядковый номер строки, а показатель степени здесь всегда на единицу меньше порядкового номера. В первой строке-нуль, во второй-единица, в третьей-два, и так далее.
- Ага! - догадалась Таня. - Выходит, сумма чисел, стоящих в десятой строке, будет равна двум в девятой степени, что можно изобразить так: два в степени десять минус единица: 210-1.
- Или два в степени эн минус единица, - победоносно закончил Сева.
- Очень приятно, что вы это поняли, - обрадовалась Эс. Но Сева сейчас же доказал, что радоваться рано.
- Жаль, что такое удивительное изобретение используется только для приготовления вафель, - заявил он.
Эс даже поперхнулась.
- Что вы такое говорите! Треугольник Паскаля широко применяется в Аль-Джебре. Он блестяще используется при возведении в степень двучленов. Кстати, этим вопросом занимался не только Паскаль, но и его великий современник, сэр Исаак Ньютон. С его формулой, известной под названием бинома Ньютона, вы познакомитесь несколько позже. Каждому овощу своё время...
- А! Ньютон! - небрежно отмахнулся Сева. - Это тот самый, который подошёл к нам вместе с Лейбницем на Дороге Светлого Разума. Они там вдвоём что-то такое открыли, а потом разбирались, кто из них первый...
- Это "что-то такое" положило начало высшей математике. И называется оно анализом бесконечно малых и бесконечно больших величин.
И Эс, сухо попрощавшись, удалилась.
Сева так смутился, что нам его жалко стало.
Но не прошло и пяти минут, как он уже составлял какие-то новые треугольники, которые решил, конечно, назвать своим именем.
Вот один из них. Покажи его своим ученикам. Может быть, вы наведёте в нём порядок.
Будь здоров.
Олег.
Да! Совсем забыл ответить на твой вопрос. Ты хочешь знать, почему а + b с называется суммой.
Дело в том, что знаки плюс и минус, обозначающие положительные и отрицательные числа, в то же время обозначают сложение и вычитание.
+
Что значит, например, 3 + 2? Разве это не то же самое, что 3 - 2?
И то и другое равно единице.
Потому-то в алгебре сумму и разность часто объединяют одним названием: алгебраическая сумма.
Напиши а + b - с так:
+ +
а + b + с
и ты увидишь, что Сева нисколько не ошибся.
ГОРЯЧО - ХОЛОДНО
(Сева - Нулику)
Ну, Нулик, держись! Это письмо тебя наверняка удивит и обрадует, потому что... Впрочем, нет! Рассказывать, так по порядку.
Всё ещё торчим в "Абракадабре". То никак не могли попасть, то никак не выберемся. Совсем уж собрались уходить, но вдруг я вспомнил о стручке, сунул руку в карман - пусто!
Искали, искали, лазали по полу-хорошо, пол здесь чистый, - нигде его нет... А потом я подошёл к столу, где мы сидели, и вижу: в вазе на круглой бумажной салфетке лежит один треугольник. Откуда он взялся? Помнится, мы съели все.
Очень мне захотелось взять эту вафлю. На память. Тётя Нина говорит, что это неприлично. Ну, да один раз - куда ни шло! Да и вафелька-то была совсем маленькая. Я поднял её. Глядь! А стручок-то под ней. Неспроста!
Стали мы рассматривать вафельку. Чисел на ней не было. Зато было пять рядов букв. Буквы стояли вразброс, но мы уже знали, что беспорядок бывает обманчивым. И всё-таки как мы ни старались, никаких закономерностей не открыли. Тогда Таня перевернула вафлю. На другой стороне тоже было пять рядов букв. Посмотрели-и ахнули! Прочитай, что там было написано, и ахнешь тоже:
Первая весточка от Чёрной Маски! Вот она, тайна, где-то рядом. Как в игре "горячо - холодно". Я чуть не закричал: "Горячо, горячо!"
- Может быть, это ключ к шифру! - сказал Олег.
Он осторожно расслоил вафлю. Вместо одной толстой получились две тоненькие. Мы положили их рядом и стали сличать буквы. Олег вынул карандаш и бумагу и написал два ряда букв:
я от вас ушел маска
а пу гвт фыим ндчоб
Вот когда мы расшифруем записку!
Но Олег снова задумался:
- Нет, тут что-то не так. В первом ряду буква "а" повторяется три раза. Но каждый раз она зашифрована по-разному. Сначала "а" - это "в", потом - "д", потом - "б". Значит, шифр всё время меняется. Но как?
То-то и оно!
Мы опять приуныли.
Я с досадой взглянул на стручок. Разлёгся как лодырь на круглой бумажной салфетке, а до нас ему и дела нет.
Только сейчас я заметил, что на салфетке, точь-в-точь как на круглой табличке в витрине, написаны буквы русского алфавита. Под каждой буквой номер. Мы стали рассматривать салфетку.
И вдруг стручок начал медленно вращаться. Совсем как часовая стрелка. Острый кончик его медленно скользил от буквы к букве.
- Смотрите! - сказал я. - После "я" на салфетке написано "а". И в шифре вместо "а" надо читать "я". После "о" стоит "п". И в шифре "п" означает "о". Значит, буквы надо заменять соседними.