- Дай-ка мне!
Я взял у Тани молоток и стал возводить минус три в четвёртую степень, пятую, шестую, седьмую...
Гирька по очереди то подпрыгивала всё выше и выше, то уходила всё глубже в колодец. И каждый раз загорался зелёный огонёк. Тут-то я и понял, что, когда отрицательное число возводишь в чётную степень, ответ получается положительный, а когда в нечётную - отрицательный. Хочешь знать почему? Возьми карандаш и разберись сам.
Наконец мы решили, что достаточно углубили свои знания в колодце, и отправились дальше.
По дороге нам повстречалась старая знакомая - та самая Мнимая Единичка, которая спрашивала у автомата, найдётся ли ей место в жизни. Мы её сразу узнали по маленькому красному зонтику.
- Здравствуйте, как поживаете?
- Отлично, - ответила она. - Автомат сказал правду: и Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться.
- Неужели вы нашли себе место на воздушной монорельсовой дороге?
- Конечно, но не на той ветке, где живут действительные числа. У нас. Мнимых Единиц, собственная дорога. Она пересекает воздушную монорельсовую как раз на Нулевой станции.
- Как же мы её не заметили? - спросил Сева.
- Так ведь наша дорога мнимая и не сразу бросается в глаза.
- Жаль, что не сразу! - сердито отрезал Сева. - Теперь придется возвращаться, чтобы посмотреть на неё.
- Возвращаться к старому иногда полезно, - заметила Мнимая Единичка. - Но с небольшим кусочком мнимой дороги вы можете познакомиться и здесь. В парке построен новый аттракцион. Он называется "Мнимая карусель". Я там работаю. Хотите взглянуть?
Хотим ли мы взглянуть на карусель, да ещё мнимую? Как ты думаешь?
Олег.
МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ
(Таня - Нулику)
Вот тебе, Нулик, наши последние новости.
По дороге к аттракциону всё чаще мелькали рекламные плакаты:
ПЕРВАЯ В МИРЕ МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ!
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ДЛЯ МНИМЫХ ЕДИНИЦ!
ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО,
ГДЕ МНИМЫЕ ЕДИНИЦЫ МОГУТ СТАТЬ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ!
Мнимые Единицы, кружитесь на здоровье!
Наша симпатичная подружка щебетала без умолку и рассказала кучу интересного.
Оказывается, Мнимая Единица - это просто-напросто корень квадратный из отрицательной единицы: v-1 .
- А разве из минус единицы нельзя извлечь корень? - спросил Сева. - Ведь корень квадратный из единицы всегда равен единице.
- Ой-ой-ой! - ужаснулась Мнимая Единичка. - Это касается только положительной единицы. Ведь что значит извлечь корень квадратный, скажем, из девяти?
- Это значит найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось бы девяти, - ответил Олег. - Это число три.
- Верно. А теперь попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат даёт минус единицу!
Мнимая Единичка тоненько засмеялась.
Сева озадаченно взъерошил волосы:
- М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ всё равно получится положительный. Уж я-то знаю!
- Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.
- Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно.
- Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится всё та же Нулевая станция.
- Раз у вас есть Нулевая станция, значит есть положительные и отрицательные числа?
- Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое знаком минус.
- Но как же мнимые числа отличают от действительных?
- С помощью буквы i: 2i, 5i, -8i, -12i.
- Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?
- Конечно.
- А где же ваш коэффициент? - ляпнул Сева.
И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо ещё, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.
- Мой коэффициент-единица, и он, как всегда, невидимка.
Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!
- Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чём здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идёт по прямой, а карусель-то кружится?
- Вы отчасти правы, - ответила Мнимая Единичка. - Правила движений у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа; 2i + 3i = 5i; 8i - 15i = - 7i, или вот еще: -3i + 9i = 6i, ну и конечно: 5i - 5i = 0.
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело-умножение, деление, возведение в степень... Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре арена, её под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах её укреплены таблички +1 и -1. Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички +i и -i. На пересечении дорог, в центре арены, - Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на неё (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.
Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С неё легко соскочила Мнимая Единица с зелёным зонтиком. Вместо неё на круг, точно против таблички +i, стала Мнимая Единица с жёлтым зонтиком.
Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:
- К возведению в степень приготовиться!
Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!
Мнимая Единица с жёлтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички -1 и превратилась в действительное число - Отрицательную Единицу.
Возле таблички снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и невероятно! - опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да ещё положительную. А потом как ни в чём не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню "Каким ты был, таким остался!", и всё началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица всё превращалась и превращалась.
- Не понимаю, - сказал Сева. - Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная - опять в Мнимую... Как это?
- На то и возведение в степень! - отозвалась Мнимая Единичка. - Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i =v - 1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
- Подкоренное число, - ответил Олег.
- Так это же мы недавно видели!-вспомнил Сева.- Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трёх, то корень квадратный из двух... И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
- То же самое происходит и с Мнимой Единицей: i2 = i * i = (v-1)2 = - 1.
- Ну, это понятно. А как же действительное число - минус единица превращается в мнимое?
- При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень: i3 = i2* i.
А это ведь всё равно что умножить минус единицу на i: -1 * i = -i.