- Теперь, - сказал Олег, - нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом -i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1 . Она возводится в четвёртую степень: i4 = i2 * i2
А это можно представить себе и так: -1 * -1 = +1.
- Прекрасно! - воскликнула Мнимая Единичка. - Остаётся выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
- Не может быть! i5 равно i?! - растерялись мы.- Что же это такое?
- Да ничего особенного: i4 = 1. Чтобы получить i5, умножим единицу на i. А это ведь всё равно что i, взятое один раз, то есть просто i : 1 * i = i.
- Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвёртую степень? - удивился Олег.
- Отчего же! - возразила Мнимая Единичка. - Возводите себе на здоровье и в шестую, и в седьмую, и в сто двадцать первую... Словом, в любую целую степень. Но ничего, кроме того, что уже было, не получится. На то и карусель!
Тут Севе срочно понадобилось выяснить, чему равняется i17?
- Ну, это совсем нетрудно, i в пятой равно i, - сказала Мнимая Единичка. Значит, i в девятой тоже равно i...
- Понимаю! - перебил Сева.- Каждый раз надо прибавлять к показателю степени четыре: i13 равно i, значит, i17 тоже равно 1.
Вот, Нулик, хорошая задача для твоих учеников. Попробуйте вычислить, чему равно i24? А чтобы вам легче было, загляните в чертёж мнимой карусели.
Долго ещё любовались мы превращениями Мнимых Единиц, а когда уже собрались уходить, Сева хлопнул себя по лбу:
- Чуть не забыл спросить! Вы сказали, что при возведении в степень Мнимые Единицы движутся по кривой. А ведь здесь они движутся по окружности!
- Окружность тоже кривая, но такая, где все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра. При умножении и возведении в степень перемещаются по окружности только Мнимые Единицы.
- А как движутся другие мнимые числа при возведении в степень? - спросил Олег. - Два i, три i, четыре i?
- На нашей карусели вы этого не увидите,- сказала Мнимая Единичка. - Да оно и к лучшему. Это очень сложный вопрос. Нельзя же всё сразу...
- Всякому овощу своё время? - подмигнул Сева.
- Пожалуй,- улыбнулась Мнимая Единичка.
Мы поблагодарили её и распрощались. Но тут пришла очередь Олегу хлопать себя по лбу.
- Извините, пожалуйста, - сказал он, обернувшись, - а зачем вообще нужны мнимые числа?
- Это вы поймёте, когда начнёте решать уравнения второй и третьей степени. Там в ответе часто получаются мнимые числа.
- На что нужны уравнения с мнимыми ответами? - буркнул Сева.
- Спросите об этом у физиков, химиков, инженеров, астрономов... Мнимые числа помогают им решать вовсе не мнимые, а действительно важные практические задачи.
- Но почему же тогда вас называют мнимыми?
- По привычке, - грустно ответила буковка i. - Так нас окрестил французский учёный Рене Декарт. Это было в семнадцатом веке, когда мнимые числа ни во что не ставились. Но с тех пор многое переменилось. Если бы Декарт жил в наши дни, он непременно придумал бы для нас более подходящее название.
- Например, "необходимые числа", - сказал Олег.
- О! Это было бы чудесно! - вздохнула Мнимая Единичка.
Мы ещё раз попрощались и ушли. На этот раз совсем.
Таня.
АЛЬ-МУКАБАЛА!
(Сева - Нулику)
Селям алейкум, старина! Я теперь тоже умею говорить по-восточному. Поживёшь в Аль-Джебре - не то ещё узнаешь!
Сегодня мы учились решать уравнения. Правда, пока ещё первой степени. Но и это не так уж мало.
Здесь есть особая площадка, где решают эти уравнения. И не как-нибудь вручную, а подъёмными кранами. Механизация!
Когда подходишь к этой площадке, видишь одни только краны. Длинношеие, вроде жирафов. Жирафы то поднимают голову, то опускают, то тянутся друг другу навстречу. Только переносят они не кирпичи, не блоки, а буквы, числа, знаки сложения, вычитания. Словом, всё, что понадобится.
Таня оставила в покое свой фасонистый комбинезон, пришла в школьном платье. И очки сняла. Правильно сделала: электросваркой ей здесь заниматься не пришлось.
Что нам бросилось в глаза, - это иксы. Их здесь видимо-невидимо. Ведь там, где решают уравнения, без иксов не обойтись,
Эф не отпускала нас ни на шаг. Наверное, боялась, как бы кого не ушибло краном, хотя везде и так развешаны плакаты:
ПОД КРАНОМ НЕ СТОЯТЬ!
Во время аль-джебры и аль-мукабалы к уравнениям не подходить!
Высоко-высоко, в кабинке крана, сидела молоденькая крановщица - буква Ка. Она передвигала рычаги и зорко следила за регулировщицей Эр. Та стояла внизу. В каждой руке - по флажку. Ими она указывала крановщице, куда двигать кран.
Под краном чинно стояли Икс в чёрной маске, Двойка и Шестёрка. Они образовали такое уравнение: х - 2 = 6.
Регулировщица медленно опустила один флажок, и так же медленно наклонил свою жирафью шею кран с большим крюком на конце. Крюк осторожно подцепил Двойку, которая торопливо прихватила свой минус. Регулировщица помахала флажком, и кран замер. Потом она крикнула: "Аль-джебр!"-прямо как у нас кричат "майна" или "вира". И вот уже Двойка с минусом заболтала ножками в воздухе и поплыла к правой части уравнения.
Когда она поравнялась со знаком равенства, регулировщица скомандовала: "Переменить знак!" Двойка быстро положила минус в карман и вынула оттуда знак плюс. И вот уже она рядом с Шестёркой в правой части равенства: х = 6 + 2.
А через секунду вместо этого мы увидели: х = 8.
Чёрная маска упала, Икс поднял её, низко поклонился Ка и Эр и скрылся. А мы перешли к другому крану. Там уже стояло такое уравнение: 3х + 6 = 12.
Снова крановщица нажимала на рычаги, снова регулировщица махала флажками, кричала: "Аль-джебр!"-и скоро под краном появилось вот что: 3х = 12 - 6.
Мы переглянулись.
- В чём дело?- спросила Эф.- Что-нибудь непонятно?
- Непонятно,- признался Олег.- До сих пор нам показывали только такие задачи, где отрицательное число переносится из левой части равенства в правую и превращается в положительное. Действие это называется "аль-джебр", по-нашему - восстановление. На этот раз в левой части равенства было положительное число шесть, и его перенесли в правую часть со знаком минус. При чём же здесь восстановление?
- Законный вопрос,- развела руками Эф.-Но вспомните, что "аль-джебр"-слово, пришедшее к нам из далёкой древности. А древние слова по дороге часто теряют своё первоначальное значение. Взять хоть слово "чернила". Поначалу чернила были только чёрные. Сейчас есть и красные, и зелёные, и синие, и фиолетовые. Но никто же не называет их ни краснилами, ни синилами!
- Как интересно!- сказала Таня.- Таких слов, наверное, много.
- Перочинный ножик! - вспомнил я. - Раньше им перья чинили, а теперь карандаши.
- Правильно!-сказала Эф.-То же самое случилось и со словом "аль-джебр". Мухаммед ибн Муса применил его тогда, когда отрицательные числа были бесправными. Перенося их в правую часть равенства с положительным знаком, он восстанавливал их в правах. Но отношение к отрицательным числам давно уже переменилось. И теперь понятие "аль-джебр" расширилось. Оно означает не только перенос отрицательного числа из одной части равенства в другую с положительным знаком, но и вообще перенос любого числа с обратным знаком. Но вернёмся всё-таки к нашему уравнению,-закончила свою речь Эф.
Мы посмотрели на площадку. Там теперь вместо 3х = 12 - 6 стояло: 3х = 6.
Странное дело: уравнение решено, а на Иксе по-прежнему чёрная маска.
- Ошибаетесь,-сказала Эф.- Решить уравнение-значит вычислить, чему равен один икс. Мы же пока знаем, чему равны три икса.
- Ну, это нетрудно,-сказал Олег. - Чтобы вычислить икс, надо шесть разделить на три.