0,32869700833....
0,91967138452....
0,00063700114....
Покажем, что обязательно есть точка отрезка, не вошедшая в этот список, и, следовательно, список неполон. Для того чтобы записать десятичную дробь, характеризующую положение этой точки на отрезке, поступим следующим образом. Запишем первым знаком после запятой в десятичной дроби любую цифру, отличающуюся от первой цифры после запятой в первой строчке нашей таблицы (то есть в нашем примере не 3, а, скажем, 5). Вторую цифру в нашей дроби запишем любую, но отличающуюся от второй цифры во второй строчке таблицы (в нашем примере не 1); и так далее будем поступать до бесконечности. Ясно, что мы получим дробь, которой нет в нашем списке. Действительно, она не совпадает с первой строчкой, так как заведомо отличается первая цифра после запятой, не совпадает со второй строчкой, так как заведомо отличается вторая цифра после запятой и т. д.
Точка, расстояние которой записано этой дробью, пропущена в нашем бесконечном списке и, значит, не имеет номера.
Казалось бы, можно начать нумеровать с этой точки, а уж потом давать номера всем остальным. Как шутливо замечает голландский математик Г. Фрейденталь, именно так поступил человек, побившийся об заклад съесть 20 картофелин. Съев 19 из них и чувствуя себя не в силах проглотить последнюю картофелину, этот человек со вздохом заметил: «С нее-то мне и следовало бы начать».
Разумеется, если начать нумеровать с только что указанной точки, оставшейся без номера, то тем же способом можно найти другую точку, оставшуюся без номера при новом способе нумерации.
Наверное, читатель несколько устал от необходимости следить за необычным построением, но уж очень оно важно, и хотелось его привести для того, чтобы дать хоть немного почувствовать, насколько необычные свойства мы встречаем в царстве бесконечности.
Итак, точек на единичном отрезке прямой заведомо больше, чем бесконечных чисел натурального ряда. Математики говорят, что бесконечность точек на отрезке прямой более мощная, чем бесконечность чисел натурального ряда.
Значит, бесконечности не все одинаковые. Среди них есть более мощные, то есть более богатые элементами, и менее мощные.
Казалось бы, количество точек на всей прямой заведомо больше, чем количество точек на единичном отрезке. Ведь отрезок — часть прямой. Но мы уже осторожны и помним, что в царстве бесконечности тезис «часть меньше целого» не работает. И действительно, мощности бесконечного числа точек прямой и отрезка одинаковы. Это одинаковые бесконечности!
Более того, бесконечность числа точек на всей плоскости и даже во всем трехмерном пространстве той же мощности, что и на отрезке прямой. Все это одинаковые бесконечности. Может возникнуть подозрение, что раз множество точек всего бесконечного пространства не больше множества точек отрезка, то вообще не существует бесконечного множества еще более мощного. И эта бесконечность наибольшая.
Но это не так. Математики умеют строить множества все более и более мощные, то есть строить все большие и большие бесконечности. Нет наибольшей бесконечности, этот ряд тоже бесконечен.
Остановимся, пожалуй, в самом начале нашего пути в мир бесконечностей. Путешествие в нем, возможно, и не менее увлекательно, чем путешествие в мире черных дыр или в далях Вселенной, но это все же дорога в другом направлении человеческих знаний,
Вернемся к расширению Вселенной. После всего сказанного нас уже не удивляет, что бесконечная Вселенная может бесконечно расширяться и для этого не требуется чего-то вне Вселенной, чего-то «потустороннего».
Подобно тому как в истории Гильберта бесконечное число постояльцев можно было всех переселить только в четные номера, увеличив тем самым вдвое расстояние между ними, так и во Вселенной можно увеличить, скажем, вдвое расстояние между галактиками, оставаясь все в той же бесконечной Вселенной.
Но возникает еще один важнейший вопрос: почему Вселенная именно расширяется? Что придало галактикам скорость? Еще раз напомним, что теория тяготения не отвечает на этот вопрос. Галактики сейчас движутся по инерции, и их скорость тормозится тяготением.
К этому вопросу, о причинах, приведших к расширению Вселенной, мы вернемся в последней главе.
Наконец, еще одно замечание. Иногда приходится слышать утверждение, что вследствие расширения Вселенной расширяется все на свете: не только галактики разбегаются, но и сами галактики расширяются, расширяются отдельные звезды, наша Земля — вообще все тела. Это, конечно, неверно. Разбегание галактик вообще никак не влияет на отдельные тела. Как в разлетающемся облаке газа отдельные молекулы не расширяются, точно так же и в расширяющейся Вселенной гравитационно связанные тела — галактики, звезды, Земля — не подвержены космологическому расширению. Разумеется, они могут и расширяться и сжиматься, но это вызывается внутренними причинами — процессами, которые происходят внутри этих тел.
Расширяется ли вселенная?
Вывод о расширении Вселенной далеко не сразу получил всеобщее признание. Уж очень грандиозна сама идея эволюции всего окружающего мира. И эта идея ведет ко многим удивительным и далеко идущим следствиям, например, что в далеком прошлом, когда началось расширение, Вселенная была не похожа на сегодняшнюю. Как отмечено в начале главы, такая идея вызывала много возражений, отчасти в силу инертности человеческого мышления, отчасти в силу предвзятых псевдофилософских соображений. Казалось, гораздо привычнее и спокойнее представление о неэволюционирующей, стационарной Вселенной. Все это породило многочисленные попытки дать какое-то иное объяснение наблюдаемому «красному смещению» в спектрах далеких галактик, отличное от объяснений его эффектом Доплера. Тогда можно было бы считать галактики не удаляющимися друг от друга, а Вселенную не расширяющейся.
Очень хорошо это умонастроение отражено в памфлете «Здравый смысл и Вселенная» канадского писателя-юмориста и ученого-экономиста С. Ликока.
«В течение последних лет, точнее со дня обнародования этой ужасной гипотезы (о расширении Вселенной. — И. Н.)мы, кто как мог, пытались жить в этой расширяющейся Вселенной, каждая часть которой с кошмарной скоростью улетает от всех остальных частей! Это напоминает нам того отчаявшегося влюбленного, который вскочил на коня и поскакал, как безумный, в разных направлениях. Идея была величественная, но создавала какое-то ощущение неудобства».
Попытки «отстоять» стационарность Вселенной иногда встречаются и до сих пор; Что же имеет место в действительности? Нет ли какого-то физического процесса, не связанного с разбеганием галактик, но также вызывающего покраснение квантов света — фотонов?
В принципе такие механизмы существуют.
Чтобы квант краснел, он должен отдавать энергию. Это может происходить, когда квант, длительно путешествуя в космосе, сталкивается с электронами межзвездной среды, а в некоторых вариантах гипотезы — сталкивается с другими фотонами в межгалактическом пространстве. Во всех подобных гипотезах фотон при взаимодействии теряет не только энергию, но и изменяет направление своего движения. Значит, постепенно кванты света, летящие от галактики точно на нас, приобретают движение по расходящимся траекториям. Изображения далеких галактик должны становиться размытыми, нечеткими.
Ничего подобного не наблюдается. Уже по этой причине этот эффект не может объяснить «красное смещение». Нет надобности говорить, что при этом потребовалась бы фантастическая плотность межгалактической среды, появились бы другие наблюдаемые эффекты.
В качестве другого мыслимого механизма покраснения фотонов предлагали гипотетический процесс постепенного распада фотонов с испусканием каких-то частиц. Советский физик М. Бронштейн еще в 30-е годы показал, что если бы такой процесс и существовал (потом выяснилось, что его нет), то вероятность распада фотона была бы обратно пропорциональна частоте. Значит, чем больше длина волны фотона, тем быстрее он должен «краснеть». Кванты радиоволн должны бы краснеть быстрее квантов видимого света. Таким образом, красное смещение спектральных линий в радиоспектрах галактик было бы больше, чем в видимой области спектра. В 60-х годах были проведены точные наблюдения смещения радиолинии с длиной волны 21 сантиметр. Эта линия хорошо видна в радиоспектрах холодного межзвездного газа во многих других галактиках.