Если даже ученым было трудно представить пространства с более высокими размерностями, то обычным людям требовалось гораздо больше времени и усилий, чтобы понять это, и обычно это происходило на интуитивном уровне. Революция в геометрии XIX в., которая, как мы увидим в следующей главе, вышла за рамки простых обобщений пространств с более высокими размерностями, была ключевым моментом для науки и общества и означала вступление в мир многомерных пространств.
В двух предыдущих разделах мы уже затрагивали вопрос о различии физического и математического пространства, но не углублялись в детали.
Для физиков и других ученых понятие пространства тесно связано с понятием действительности, но для математиков это не совсем так. Вопрос «Существует ли четырехмерное пространство?» имеет различный смысл в зависимости от того, кто его задает. Для физиков этот вопрос звучит так: «Существует ли реальное четырехмерное пространство?» Ответ, конечно, отрицательный, если под реальным пространством имеется в виду наблюдаемый физический мир.
Таким образом, когда речь идет о четвертом измерении, физики имеют в виду четырехмерное пространство-время. Однако для математиков этот вопрос означает: «Существует ли концепция четырехмерного пространства?»
В конечном итоге это различие связано с самой сущностью математики и ее подходом. Математики не только изучают физический мир, который нас окружает, но и способны абстрагироваться от него и перенестись в мир идей, концепций и математических структур, в котором физический мир является лишь небольшой его частью или совсем отсутствует. Математики работают в этом мире идей, получая абстрактные результаты, общие понятия, создавая новые формы и инструменты. Несмотря на огромное расстояние между реальностью и математикой, эта наука успешно применяется в реальном мире. Венгерский математик и физик Юджин Вигнер (1902–1995), лауреат Нобелевской премии по физике, говорил о «необъяснимой эффективности прикладной математики в естественных науках». Математики Эдвард Казнер и Джеймс Ньюман в своей знаменитой книге «Математика и воображение» (1989) использовали другую метафору: «Математик — это портной, служащий благородному сословию наук. Он шьет всевозможные костюмы для всех, кто только пожелает их носить».
В этом смысле математики естественным образом работают с многомерными пространствами, не ограничивая себя физической реальностью. Для них математические понятия существуют, если только они не являются логически противоречивыми. Вот почему, когда математики говорят о четырехмерном пространстве, им не нужно обязательно думать о пространстве-времени или о четвертом пространственном измерении.
* * *
РАЗМЕРНОСТЬ ВСЕЛЕННОЙ
Наши чувства говорят нам, что мы живем в трехмерном пространстве, а если мы добавим время, то можно считать, что наша Вселенная является четырехмерной. В настоящее время физики работают над теорией струн, которая предполагает, что наша Вселенная может существовать в пространстве более высоких размерностей: 10,11 или даже 26. Но размерности эти существуют в субатомных масштабах, поэтому они — вне нашей способности воспринимать их. Многие из нас не в состоянии даже представить их! Интересно, что Чарльз Хинтон уже в конце XIX в. говорил о такой возможности, излагая теорию четвертого измерения.
Теория струн до сих пор не доказана экспериментально, хотя уже произвела глубокую научную и философскую революцию. Ее противники утверждают, что ее невозможно полностью проверить и, следовательно, в действительности она вообще не является научной теорией. Это один из вопросов, на который может пролить свет Большой адронный коллайдер, построенный в ЦЕРНе.
В области математической физики важность работы с многомерными пространствами уже давно стала очевидной. Французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) в своей книге «Аналитическая механика» рассматривал механику в терминах многих координат (степеней свободы), включая время как отдельную координату. Впоследствии ирландский математик и астроном Уильям Роуэн Гамильтон (1805–1865) переписал уравнения механики для многомерных пространств.