* * *
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ (1792–1856)
Отец неевклидовой геометрии был человеком скромным, очень хорошо воспитанным и серьезным, неутомимым работником, который посвятил свою жизнь работе в Казанском университете. После окончания физико-математического факультета родного университета он начал в нем преподавать и вскоре получил должность декана факультета, а затем стал ректором Казанского университета. Этот пост он занимал в течение 19 лет. Параллельно с занятиями математикой он добился исключительных результатов на этой должности. Он улучшал здания университета и строил новые, организовывал работу библиотеки (иногда лично сортируя книги), открыл лабораторию и новую клинику и привлек на работу лучших преподавателей и ученых. Кроме геометрии Лобачевский также интересовался другими областями математики, такими как тригонометрические ряды, теория вероятностей, механика и интегральное исчисление. Наиболее важной негеометрической его работой была «Алгебра, или Вычисление конечных».
Советская марка с портретом Лобачевского.
В 1822 г. с публикацией работы Гаусса «Исследования относительно кривых поверхностей» появилась новая ветвь геометрии — дифференциальная геометрия, в которой используется дифференциальное и интегральное исчисление для изучения кривых и поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Сразу после открытия этого исчисления в работах Ньютона и Лейбница математики стали использовать этот мощный инструмент для анализа кривых, а впоследствии Эйлер и Монж начали применять его также для поверхностей.
Однако даже работа Гаусса не содержит систематического и исчерпывающего исследования поверхностей в трехмерном пространстве. Гаусс заинтересовался поверхностями, когда занимался задачами геодезии и картографии, еще в Ганновере работая над методом триангуляции, а также благодаря своим астрономическим исследованиям. В «Общих исследованиях о кривых поверхностях», изучая поверхности в геометрических пространствах, он открыл новый научный метод. Он первым начал рассматривать поверхности как объекты, которые могут быть описаны двумя координатами и хг называемыми локальными координатами. До Гаусса поверхности считались всего лишь границами твердых тел. В то время как обычная геометрия изучала объекты на плоскости и в пространстве в их целостности, новая дифференциальная геометрия концентрировалась на отдельных локальных свойствах кривых и поверхностей.
Поверхности в пространстве — это геометрические объекты, которые могут быть локально описаны двумя координатами U и V, называемыми локальными координатами. Локальная карта (Т) является телескопом, через который математик наблюдает (получается двумерное изображение) конкретную область изучаемого объекта.
В упомянутой работе Гаусс ввел понятие ориентации поверхности и связанного с ориентацией поля нормальных векторов, содержащего векторы, перпендикулярные к поверхности в каждой ее точке, что стало основным инструментом для измерения кривизны поверхности. Эти инструменты позволили определить два вида кривизны поверхности, известные сегодня как кривизна Гаусса К и средняя кривизна Н. Гаусс показал, что, вопреки определению, кривизна К зависит только от внутренней геометрии поверхности, доказав основную теорему теории поверхностей, так называемую Theorema Egregium. Он также определил другие основные элементы внутренней геометрии, в частности, геодезические линии как кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности. Им же были получены интересные результаты, следующие из внутренней геометрии, такие как отношение между углами геодезического треугольника и его кривизной.
Формула показывает, что разность между 180° (или π радиан) и суммой углов геодезического треугольника зависит от кривизны Гаусса.
Если взять полоску бумаги и соединить ее два конца, то получится лента с двумя поверхностями — внешней и внутренней, то есть двухсторонняя. Но если мы развернем один конец бумаги при склеивании, то получится лист Мёбиуса, который является односторонней поверхностью. Чтобы проверить это, достаточно провести карандашом линию по ленте и убедиться, что линия вернется в начало, пройдя по всей ленте. Эта лента имеет только одну сторону.