Точки, находящиеся на отрезке, указывают высоту, на которой расположена каждая из окружностей. Этот рисунок является визуализацией сферы на плоскости (рисунок Хосу Арройо).
Возвращаясь к случаю гиперсферы радиуса 5 м в четвертом измерении, мы можем применить аналогичный метод и представить полугиперсферу как семейство всех сфер с центрами на вершине мачты и с радиусами, меньшими 5 м или равными 5 м. Мы можем представить гиперсферу как все сферы, расположенные на различных высотах h в направлении ана или ката.
Все сферы в направлении, перпендикулярном к трехмерному пространству (в направлении ана или ката), являющиеся частями гиперсферы, изображены на отрезке, точки которого указывают высоту каждой сферы. Этот рисунок является визуализацией гиперсферы в нашем трехмерном пространстве (рисунок Хосу Арройо).
Одним из методов, используемых для визуализации четырехмерного объекта, в данном случае гиперкуба, в трехмерном или даже в двумерном пространстве, являются математические проекции, которые преобразуют четырехмерное пространство в трехмерное. Как правило, мы можем использовать математические проекции для преобразования любого n-мерного пространства в пространства меньших размерностей.
Существует два типа проекций — геометрические и алгоритмические. Первый является более естественным, его можно интерпретировать как лучи света, дающие изображения и тени. Алгоритмические проекции выражаются с помощью математических формул. Это означает, что геометрическая интерпретация теряется, зато можно использовать мощные математические средства.
В этой главе мы рассмотрим два типа естественных геометрических проекций, используемых в повседневной жизни. Это ортогональные проекции, соответствующие освещению солнечным светом, и центральные проекции, связанные с близко расположенным источником света, например лампой или фонарем. Именно так работает наше зрение, и именно их имитирует перспектива в живописи.
* * *
АЛГОРИТМЫ И АЛГОРИФМЫ
Алгоритм — это упорядоченный и конечный набор действий для решения задачи, будь то в области математики или других наук. Метод вычислений также называется алгоритмом. Раньше в качестве синонима слова «алгоритм» использовали слово «алгорифм», однако в наши дни такое написание практически не употребляется, за исключением устойчивых выражений, как, например, «Нормальный алгорифм Макарова». Математик А.А. Макаров (младший) (1903–1979) был основоположником советской школы конструктивной математики и ввел понятие нормального алгоритма.
* * *
Для начала вспомним, как мы в детстве рисовали куб. Наверняка наши изображения были похожи на рисунок слева. Но мы тогда и не подозревали, что рисуем ортогональную проекцию куба.
Ортогональная проекция — это отображение, а именно проецирование в определенном направлении n-мерного координатного пространства любой размерности n на одно из его подпространств (n — 1) размерности. Иными словами, все точки, которые находятся на одной прямой линии, расположенной в заданном направлении, проецируются в одну точку (n — 1) — мерного подпространства, в которой эта прямая линия пересекает подпространство. В трехмерном пространстве подпространство, на которое мы проецируем, является плоскостью. Образ объекта, полученный в результате ортогонального проецирования, представляет собой своего рода тень объекта, полученную при освещении его параллельными лучами света, падающими на плоскость проекции в заданном направлении (см. рисунок ниже). Например, так как Солнце находится очень далеко от Земли, солнечные лучи можно считать параллельными, и они падают на Землю в определенном направлении. Таким образом, тени предметов являются ортогональными проекциями. Конечно, если изменить направление проецирования, то получаются различные плоские проекции одного и того же объекта.
Ортогональная проекция куба из «Начертательной геометрии» французского математика Гаспара Монжа.
Рассмотрим теперь трехмерный куб и спроецируем его на плоскость. Чтобы лучше представить проекцию, возьмем кубическую рамку — стержни, показывающие структуру куба и представляющие линии, из которых состоит куб. Проецируя в разных направлениях, мы получим следующие изображения. Как видим, они очень хорошо отражают интуитивный подход, который мы использовали на протяжении всей книги: куб — это результат перемещения квадрата в перпендикулярном направлении.