Ортогональные проекции куба в следующих направлениях: а — перпендикулярном к двум граням куба и параллельном четырем другим; б — параллельном только верхней и нижней граням куба; в — параллельном диагонали; г — не параллельном ни граням, ни диагонали.
В этом случае хорошо видно свойства ортогональных проекций: они переводят отрезки прямых в отрезки или точки и сохраняют параллельность. Кроме того, параллельные отрезки равной длины проецируются в параллельные отрезки также равной длины.
Если мы теперь ортогонально спроецируем четырехмерный гиперкуб (точнее, его каркас) на трехмерное пространство, мы получим трехмерную фигуру, изображенную на рисунке ниже.
Ортогональная проекция каркаса гиперкуба на трехмерное пространство, сделанная с помощью конструктора Zometool.
Если мы ортогонально спроецируем ее на плоскость, то получим классическое изображение гиперкуба.
Как видно, оно соответствует интуитивному образу гиперкуба, который мы получали ранее, представляя, как куб перемещается в перпендикулярном направлении. Вернемся снова к этой идее. Если куб перемещается в перпендикулярном направлении, то он порождает гиперкуб, изображение которого на плоскости выглядит следующим образом:
В зависимости от направления перемещения и симметричности гиперкуба его изображение будет отличаться. Но можно пойти еще дальше: при перемещении гиперкуба в перпендикулярном направлении получается 5-мерный куб.
И так можно продолжать бесконечно, получая все более красивые изображения.
* * *
НОВЫЙ ЯЗЫК АРХИТЕКТУРНОГО ДИЗАЙНА
Американский архитектор, писатель, дизайнер и теософ Клод Брэгдон (1866–1946) в своей книге «Проективный орнамент» (1915) описал систему для получения геометрических узоров, которые можно использовать в архитектуре, графическом дизайне и украшениях. Этот метод широко использовался в современной архитектуре, например при строительстве Торговой палаты в Рочестере (1915–1917), а также в дизайне журналов, плакатов и книг. Брэгдон писал о необходимости создания нового языка архитектуры и орнаментов, основанного на геометрии. Более того, четвертое измерение оказалось одним из основных инструментов для декоративного дизайна. Брэгдон утверждал, что «новые декоративные мотивы следует искать в четырехмерной геометрии».
Иллюстрация из книги «Проективный орнамент», показывающая, как четвертое измерение используется для создания новых декоративных мотивов.
Изображения куба и гиперкуба, полученные в предыдущем разделе, являются «тенями» при падении на объект параллельных «лучей света». Но теперь мы будем рассматривать тени, порожденные лучами света, исходящими из одной точки.
Именно такие изображения видит наш глаз или объектив фотокамеры. Соответствующая проекция называется центральной проекцией. Это отображение n-мерного координатного пространства в (n — 1) — мерное подпространство, при котором лучи соединяют центральную точку (источник света) с подпространством проекции, так что все точки, которые находятся на одном таком луче, будут проецироваться в одну точку (n — 1) — мерного подпространства.
* * *
МЕТОД ПЕРСПЕКТИВЫ В ИСКУССТВЕ
Метод перспективы в искусстве Ренессанса был научной и художественной революцией в подходе к представлению пространства на плоскости. В древности и в средние века образы на картинах были плоскими, в том смысле, что у них не было глубины, пропорции не сохранялись, а формы и объемы искажались. В Средние века, например, более крупно изображали более важных с религиозной точки зрения персонажей. В эпоху Ренессанса художники обратились к науке в поисках методов и приспособлений, позволяющих получить изображение, более близкое к тому, что видит глаз художника. Среди великих художников, использовавших метод перспективы, были Джотто, Пьеро делла Франческа, Брунеллески, Леон Баттиста Альберти, Рафаэль, Дюрер и Леонардо да Винчи. Метод перспективы доминировал в искусстве с XV до XIX в.