Как только вы привели дроби к общему знаменателю, сокращение дроби теряет всякий смысл, потому что оно приведет к тому, что знаменатели дробей опять будут различаться, то есть сложение становится невозможным. Так что при сложении дробей советую вам забыть о сокращении.
Надо сказать, что с дробями не всегда удобно работать. Как бы ни записали дробь, 1 1/2, или 11/2, она нарушает стройность и логичность позиционной записи чисел.
Скажем, число 31433/4 можно расписать при помощи позиционных величин. Это три тысячи плюс одна сотня плюс четыре десятка плюс три единицы и плюс три четвертых. Пока мы не добрались до этой злополучной дроби, все было логично. При переходе слева направо каждая следующая позиция равна одной десятой предыдущей. Другими словами, 1000 × 1/10 = 100; 100 × 1/10 = 10; 10 × 1/10 =1.
Все прекрасно, но почему нужно останавливаться на единице? Почему бы не продолжить этот ряд дальше направо, в область, меньшую единицы?
Он будет выглядеть вот так: 1 × 1/10 =1/10; 1/10 × 1/10 = 1/100; 1/100 × 1/10 = 1/1000 и так далее. Таким образом, если продлим позиционный ряд в область чисел, меньших единицы, мы получим десятые, сотые, тысячные и так далее.
Теперь рассмотрим дробь 1/2. Если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, в данном случае на 5, величина дроби при этом не изменится. В результате получим 1/2 = 5/10. Это означает, что число, подобное 551/2, можно представить в виде 555/10, или 55,5, или пятьдесят пять целых и пять десятых. Мы опять получили позиционное число, но теперь у нас есть дробная часть, отделенная от целой части запятой. Число 55,5 позиционное, и его можно прочесть как пять десятков плюс пять единиц плюс пять десятых.
Рассмотрим еще одну дробь, 3/4. Если мы умножим числитель и знаменатель на одно и то же число, в данном случае уже на 25, и при этом величина дроби не изменится. В результате получим 3/4 = 75/100, или 70/100 + 5/100, или 7/10 + 5/100. Это означает, что число подобное 553/4, можно представить в виде 5575/100, или 55,75, или пятьдесят пять целых и семьдесят пять сотых. Мы опять получили позиционное число, и теперь у нас есть дробная часть, отделенная от целой части запятой. Число 55,75 позиционное, и его можно прочесть как пять десятков плюс пять единиц плюс семь десятых плюс пять сотых.
Дроби, представленные в виде определенного количества десятых, или сотых, или тысячных и так далее, то есть в виде позиционного числа, называются десятичными. Запятая, отделяющая целую часть от дробной, называется десятичной запятой.
Десятичную дробь, меньшую единицы, можно было бы записать как 7. Но существует реальная возможность того, что в процессе вычислений знак запятой потеряется и дробь превратится в целое число. Поэтому выбрали такую форму записи, когда отсутствующая целая часть заменяется нулем, и наша дробь приобретает вид 0,7 (то есть ноль единиц плюс семь десятых, но можно сказать просто семь десятых). Кроме того, 7/10 можно записать как 0,70, или 0,700, или 0,7000, или 0,700000000000. Добавление сотого, тысячного, десятитысячного и так далее знаков после последнего значащего числа в десятичной дроби не изменяет ее величины.
Основное преимущество десятичных дробей заключается в том, что сложение и вычитание можно производить, не думая о дробной части, и оперировать с дробным числом как с целым. Можно воспользоваться и счетами. Для этого ряд единиц надо расположить посередине счетов, вверх идут ряды десятков, сотен, тысяч и так далее, а вниз десятые, сотые, тысячные и так далее. На таких счетах можно складывать и вычитать и сотни, и сотые, и тысячи, и тысячные и так далее.
Те же правила справедливы при подсчетах на бумаге. Предположим, надо сложить 11/2 + 13/4, сохраняя выражение в обычных дробях. Сначала надо привести дроби к виду 3/2 + 7/4, затем приводим их к общему знаменателю 6/4 + 7/4, что равно 13/4, или 31/4.
А теперь проведем сложение в десятичных дробях.
11/2 = 1,5, а 13/4 = 1,75.
Проведем сложение в столбик:
Обратите внимание, мы записали число 1,5 в виде 1,50 потому, что у второго числа есть значащая цифра в разряде сотых. Если мы этого не сделаем, то возникает опасность ошибки из за неправильной записи:
В десятичных дробях мы получили ответ 3,25, или 3 плюс 2/10 плюс 5/100. Если теперь провести сложение, мы получим 31/4, то есть тот ответ, который мы признали правильным.
На практике нет никакой необходимости перескакивать от десятичных дробей к обычным дробям. Освоив однажды действия с десятичными дробями, вы сможете с их помощью проводить все расчеты быстро и относительно легко.