Числа, являющиеся количеством точек, из которых можно составить квадрат, тоже можно представить в виде ряда. Как и в прошлый раз, одну точку можно рассматривать как сверхмикроскопический четырехугольник. Четыре точки также образуют четырехугольник, у которого по две точки на каждой стороне. Девять точек образуют уже больший четырехугольник, у которого по три точки на каждой стороне, а шестнадцать точек — четырехугольник, у которого по четыре точки на каждой стороне.
Можно записать четырехугольные числа в ряд: 1, 9, 16, 25, 36, 49 и так далее. Каждое следующее четырехугольное число образует четырехугольник, у которого на каждой стороне на одну точку больше. Ряд четырехугольных чисел можно продолжать бесконечно.
Проанализировав числа, составляющие ряд четырехугольных чисел, мы увидим, что они тоже подчиняются определенной зависимости. Начнем с 1. Здесь нет вариантов, единица — это просто единица. Но уже 4 = 1 + 3, далее 9 = 1 + 3 + 5, 16=1+3 + 5 + 7 и так далее.
Таким образом, каждое число является суммой последовательных нечетных чисел, первое из которых единица.
Соотношение между числами треугольного и квадратного рядов показано на диаграмме.
Соотношения в рядах треугольных и квадратных чисел
У греков был также ряд пентагональных чисел, которые представлены на рисунке. Этот ряд можно рассматривать как некий синтез треугольных и четырехугольных рядов. Если мы построим несколько пятиугольников таким же образом, как строили треугольники и четырехугольники, то получим числовой ряд вида 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70 и так далее. Это ряд чисел, которые получают сложением чисел, отличающихся друг от друга на три. Первый член ряда — это единица. Второй — 5, то есть 1 + (1 + 3) = 1 + 4. Третий — 12, то есть 1 + 4 + (4 + 3) = 1 + 4 + 7, четвертый — 22, то есть 1 + 4 + 7 + 10, и так далее.
Греки изобрели и другие геометрические фигуры, моделирующие числовые ряды. Числа, составляющие такие последовательности, называются фигурными. Некоторые фигурные числа моделируются уже не плоскими фигурами, как треугольник и квадрат, а объемными, например кубами. Такие кубы трудно изобразить на рисунке, но если вы внимательно посмотрите на числовой ряд, вы сможете составить себе какое-то представление о кубической фигуре из точек. Серия кубических чисел — это ряд 1, 8, 27, 64, 125 и так далее.
Ряд кубических чисел также представляет собой ряд сумм нечетных чисел, правда, эти суммы не начинаются с единицы. Первый член ряда — это 1, второй — 8 или 3 + 5; третий — это 27 или 7 + 9 + 11; четвертый — это 64 или 13 + 15 + 17 + + 19. Каждая группа чисел, которые надо суммировать, начинается с нечетного числа, следующего за тем, которое завершало предыдущую сумму, а количество слагаемых в каждой следующей сумме на одно больше, чем в предыдущей.
Все ряды, которые мы до сих пор рассматривали, составляются при помощи повторных операций сложения. Но существуют и другие виды рядов, например ряд, который составляется при помощи повторного умножения.
Предположим, у вас есть четыре разноцветные бусины, которые надо нанизать. Сколько различных цветовых сочетаний можно составить из этих бусин?
Предположим, у нас красная, желтая, голубая и зеленая бусины (на самом деле для этого примера подошли бы любые цвета). Начать ряд можно с любого цвета, значит, у нас есть четыре возможных варианта. Выбираем одну из них, тогда нам надо нанизать еще три, следовательно, у нас есть 4x3, или 12 возможных вариантов. Осталось еще две бусины, и вы можете нанизать или одну из двух оставшихся бусин, что дает нам 4 × 3 × 2, или 24 возможных варианта. Теперь у нас осталась только одна бусина, следовательно, у нас есть 4 × 3 × 2 × 1, или 24 возможных варианта. На рисунке представлены все возможные 24 варианта цветовых комбинаций.
Мы видим, что число 24 можно представить как произведение 4 × 3 × 2 × 1. Используя такой же подход, мы можем сосчитать возможные варианты комбинаций из семи бусин различных цветов. Количество таких вариантов составляет 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, или 5040. Такой же расчет можно провести и для любого другого количества бусин.
Последовательность, составленная перемножением последовательных чисел, называется факториалом. Например, выражение «4 × 3 × 2 × 1» называется «факториал 4», по самому большому числу в этой последовательности сомножителей. Точно так же ряд 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 называется «факториал 7». Обычно для обозначения факториала используют восклицательный знак. Так, «факториал 4» — это 4!, а «факториал 7» — это 7! Использование восклицательного знака вполне обоснованно — восклицательный знак свидетельствует о том, что числа в последовательности увеличиваются очень быстро. Ряд 1!, 2!, 3!, 4! и так далее — это то же самое, что 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880 и так далее. Двадцатый член этого ряда, или 20!, равен 2 432 932 008 176 640 000.