Один из них представлен на рисунке.
Максимально упростим задачу и предположим, что стороны треугольника равны 1. Тогда квадрат стороны равен 1 × 1, а сумма квадратов сторон равна 1 × 1 + 1 × 1 = 2. Согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен 2, а гипотенуза равна соответственно √2.
Казалось бы, теперь грекам осталось сделать совсем немного. Надо было только найти такую дробь, которая являлась бы √2, а потом представить ее в виде соотношения целых чисел, и можно праздновать победу. Но все оказалось гораздо сложнее.
Ранее в этой главе мы с вами показали, что 12/5 близко к √2. Если бы оно точно равнялось √2, задача была бы решена. Тогда соотношение 12/5/1, которое можно превратить в соотношение целых чисел 7/5, умножив верхнюю и нижнюю части дроби на 5, и было бы искомой величиной.
Но, к сожалению, 12/5| не является точной величиной √2. Более точный ответ, 141/100, дает нам соотношение 141/100. Еще большей точности мы достигаем, когда приравниваем √2 к 1207/500. В этом случае соотношение в целых числах будет равно 707/500. Но и 1207/500 не является точным значением корня квадратного из 2. Греческие математики потратили массу времени и сил, чтобы вычислить точное значение √2, но это им так и не удалось. Они не смогли представить соотношение √2/1 в виде соотношения целых чисел.
Наконец, великий греческий математик Евклид доказал, что, как бы ни увеличивалась точность подсчетов, получить точное значение √2 невозможно. Не существует такой дроби, которая, будучи возведена в квадрат, даст в результате 2. Говорят, что первым к этому заключению пришел Пифагор, но этот необъяснимый факт настолько поразил ученого, что он поклялся сам и взял со своих учеников клятву хранить это открытие в тайне. Однако, возможно, эти сведения не соответствуют действительности.
Но если число √2/1 не может быть представлено в виде соотношения целых чисел, то и никакая дробь, содержащая √2, например √2/2 или 4/√2, также не может быть представлена в виде соотношения целых чисел, поскольку все такие дроби могут быть преобразованы в √2/1, умноженное на какое нибудь число. Так, √2/2 = √2/1 × 1/2. Или √2/1 × 2 = 2√2/1, что можно преобразовать, умножив верхнюю и нижнюю части на √2, и получить 4/√2. (Не следует забывать, что независимо от того, что представляет собой число √2 , если мы умножим его на √2, то получим 2.)
Поскольку число √2 нельзя представить в виде соотношения целых чисел, оно получило название иррационального числа. С другой стороны, все числа, которые можно представить в виде соотношения целых чисел, называются рациональными. Рациональными являются все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные.
Как оказалось, большинство квадратных корней являются иррациональными числами. Рациональные квадратные корни есть только у тех чисел, входящих в ряд квадратных чисел, о которых мы говорили в шестой главе. Эти числа называются также идеальными квадратами. Рациональными числами являются также дроби, составленные из этих идеальных квадратов. Например, √(17/9) является рациональным числом, так как √(17/9) = √16/√9 = 4/3 или 11/3 (4 — это корень квадратный из 16, а 3 — корень квадратный из 9).
Тот факт, что многие квадратные корни являются иррациональными числами, нисколько не умаляет их значения, в частности, число √2 очень часто используется в различных инженерных и научных расчетах. Это число можно вычислить с той точностью, которая необходима в каждом конкретном случае. Способ вычисления был описан ранее в этой главе, и вы можете получить это число с таким количеством знаков после запятой, на которое у вас хватит терпения.
Например, число √2 можно определить с точностью до шести десятичных знаков: √2 = 1,414214. Эта величина не очень сильно отличается от истинного значения, поскольку 1,414214 × 1,414214 = 2,000001237796. Этот ответ отличается от 2 на величину, едва превышающую одну миллионную. Поэтому значение √2, равное 1,414214, считается вполне приемлемым для решения большинства практических задач. В том случае, когда требуется большая точность, нетрудно получить столько значащих цифр после запятой, сколько необходимо в данном случае.
Однако если вы проявите редкостное упрямство и попробуете извлекать квадратный корень из числа 2 до тех пор, пока не добьетесь точного результата, вы никогда не закончите своей работы. Это бесконечный процесс. Сколько бы десятичных знаков после запятой вы ни получили, всегда останется еще несколько.