Этот факт может поразить вас так же сильно, как и превращение 1/3 в бесконечную десятичную дробь 0,333333333… и так бесконечно или превращение 1/7 в 0,142857142857142857… и так далее бесконечно. На первый взгляд может показаться, что эти бесконечные десятичные дроби и иррациональные квадратные корни — это явления одного порядка, но это совсем не так. Ведь у этих бесконечных дробей есть дробный эквивалент, в то время как у √2 такого эквивалента нет. А почему, собственно? Дело в том, что десятичным эквивалентом 1/3 и 1/7, а также бесконечного числа других дробей являются периодические бесконечные дроби.
В то же время десятичный эквивалент √2 является непериодической дробью. Это утверждение справедливо также для любого иррационального числа.
Проблема заключается в том, что любая десятичная дробь, которая является приближенным значением корня квадратного из 2, представляет собой непериодическую дробь. Как далеко мы ни продвинемся в расчетах, любая дробь, которую мы получим, будет непериодической.
Представьте себе дробь с огромным количеством непериодических цифр после запятой. Если вдруг после миллионной цифры вся последовательность десятичных знаков повторится, значит, десятичная дробь — периодическая и для нее существует эквивалент в виде отношения целых чисел. Если у дроби с огромным количеством (миллиарды или миллионы) непериодических десятичных знаков в какой-то момент появляется бесконечная серия повторяющихся цифр, например …55555555555…, это также означает, что данная дробь — периодическая и для нее существует эквивалент в виде отношения целых чисел.
Однако в случае иррациональных чисел их десятичные эквиваленты полностью непериодические и не могут превратиться в периодические.
(Разумеется, вы можете задать мне следующий вопрос: «А кто может знать и сказать наверняка, что происходит с дробью, скажем, после триллионного знака? Кто может гарантировать, что дробь не станет периодической?» Существуют способы неопровержимо доказать, что иррациональные числа являются непериодическими, но такие доказательства требуют сложного математического аппарата, поэтому мы не сможем разобрать их в нашей книжке. Но если бы вдруг оказалось, что иррациональное число становится периодической дробью, это означало бы полный крах основ математических наук. И на самом деле это вряд ли возможно.)
Теперь рассмотрим следующее выражение: (24)2. Такая запись означает, что 24 следует возвести в квадрат. Число 24 — это 2 × 2 × 2 × 2, или 16. Далее, 16 в квадрате — это 16 × 16, или 256. Таким образом, (24)2 = 256. Но 256 — это также 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, или 28. Следовательно, (24)2 = 28.
Если вы произведете подобные действия с различными экспоненциальными выражениями, различающимися как основанием, так и показателем степени, вы сможете убедиться, что существует правило, общее для всех экспоненциальных выражений: при возведении экспоненциального числа в степень показатели степени перемножаются. Это означает, что, не производя расчетов, мы всегда можем сказать следующее: (35)2 = 310, а (78)7 = 756 и так далее.
Если это утверждение верно, то, очевидно, оно будет верно и для дробного показателя степени. Рассмотрим число (24)½.
Следуя правилу перемножения экспонент, получим (24)½ = 22. Далее, поскольку 24 = 16, а 22 = 4, то мы можем утверждать, что 161/2 = 4.
Но мы также знаем, что 4 — это квадратный корень из 16, значит, возведение числа в степень ½ равносильно извлечению из этого числа квадратного корня. Другими словами, 161/2 = √16.
Далее, следуя этому правилу, можно утверждать, что 161/3= 3√16, 161/4 = 4√16 и так далее. Теперь мы ввели в обиход дробные экспоненты, о которых я обещал вам рассказать еще в шестой главе. Обратите внимание, √2 невозможно представить в виде конечной дроби, но можно — в виде экспоненциального выражения с дробной экспонентой.
Что же означает дробная экспонента? Например, выражение 163/2 — это то же самое, что (163)1/2, поскольку 3 × 1/2 = 3/2. Следовательно, 163/2 = √163.
Или, обобщая, можно сказать, что в случае дробной экспоненты основание возводится в степень, равную числителю экспоненты, и из него извлекается корень, равный знаменателю экспоненты.
Следовательно, 2567/235 — это корень 235-й степени из 2, возведенных в 567-ю степень.