Мы потратим немного времени на то, чтобы разобраться с экспоненциальными числами, и в будущем это значительно облегчит нам работу с числами.
Вначале рассмотрим положительные степени числа 10. Заметим, что в данном случае экспонента равна количеству нулей обычного числа. Таким образом, если число нулей в 1 000 000 равно шести, то экспоненциальная форма этого числа 106.
Теперь, когда нам понадобится выразить в экспоненциальной форме число, состоящее не только из единиц и нулей, нужно записать его в виде выражения, включающего 10 в какой-то степени. Например, масса Земли, как мы выяснили в начале главы, равна 6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм. Это число можно представить как 6 × 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм. Теперь самое большое число в выражении состоит из единицы и большого количества нулей, то есть его можно представить в виде степени. Поскольку количество нулей равно 27, то число можно записать в форме 1027. Теперь массу Земли можно представить в экспоненциальном виде как 6 × 1027 грамм.
Экспоненциальная форма выражения больших чисел предоставляет два очевидных преимущества. Во-первых, такая запись очень компактна, а во-вторых, ее проще прочесть — нет необходимости считать огромное количество нулей.
Для обозначения малых чисел используют 10 в отрицательной степени. Как видно из таблицы, число 10, возведенное в отрицательные степени, представляет собой обычные числа, десятичные дроби, состоящие из определенного набора нулей, расположенных правее десятичного знака и заканчивающихся единицей. Численное значение отрицательной экспоненты равно количеству нулей после запятой плюс 1. Например, число 0,000001 имеет пять нулей после запятой, следовательно, в экспоненциальной форме оно будет записано как 10-6.
Масса атома водорода может быть выражена в виде произведения 1,66 × 0,000000000000000000000001 грамма. (Если вы произведете операцию умножения, то получите ту величину, которая приведена в начале главы.) Второй сомножитель представляет собой 10 в отрицательной степени, оно содержит 23 нуля справа от десятичного знака. Таким образом, в экспоненциальной форме оно будет записано как 10-24. Масса атома водорода в 1,66 раза больше этой величины, следовательно, масса водорода равна 1,66 × 10-24.
После того как мы научились использовать числа в экспоненциальной форме на основе 10, нам будет легко разобраться в экспоненциальной форме на основе других чисел. В начале нашей книжки я уже рассказывал вам о том, что в ряде случаев удобно использовать число 12 вместо 10, поскольку у числа 12 больше множителей, чем у числа 10. (У числа 12 есть и другие преимущества, помимо большого количества сомножителей.) Древние люди определяли время по луне. Каждые 29 или 30 дней всходила новая луна и, следовательно, начинался новый месяц. Таких месяцев в году, то есть в период от одной весны до другой, было 12, точнее, 12 месяцев и 11¼ дня. Это придало числу 12 определенное магическое значение, а в древности это было очень важно для человека. Существует 12 знаков зодиака, в каждом из которых Солнце пребывает по одному месяцу при своем кажущемся вращении вокруг Земли. Число знаков зодиака нашло свое отражение и в земных делах. Это 12 племен Израиля и 12 святых апостолов.
Если мы хотим использовать 12 как основу для счетной системы, нам понадобится двенадцать разных цифр, включая ноль. Этими цифрами у нас будут 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, @ и #. Я использую символы @ и # для обозначения тех чисел, которые в десятичной системе обозначаются как 10 и 11.
Число 222 в десятеричной системе, то есть в системе, основанной на 10, можно записать как (2 × 102) + (2 × 101) + (2 × 100). Такое же число в двенадцатеричной системе можно перевести в десятеричную систему, записав его следующим образом: (2 × 122) + (2 × 121) + (2 × 120). Проведем подсчеты и получим: 288 + 24 + 2, или 314. Другими словами, число 222 в системе, основанной на 12, то есть в двенадцатеричной системе, равно числу 314 в системе, основанной на 10, то есть в десятеричной системе.
В двенадцатеричной системе число можно записать, скажем, как 3#4. Это эквивалентно (3 × 122) + (# × 121) + (4 × 120). Мы с вами ранее условились, что # равно 11 в десятеричной системе, следовательно, получаем 432 + 132 + 4, или 568 в десятеричной системе.
В качестве основания для системы счета можно выбрать и число меньше 10. Возьмем число 7, тогда система будет называться семеричной. Тогда нам нужно только 7 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Число 435 в семеричной системе для перевода в десятеричную можно записать как (4 × 72) + (3 × 71) + (5 × 70), что равно 196 + 21 + 5, или 222 в десятеричной системе.