Мы видим, что выражения 0,32 × 104, 32 × 102, 3,2 × 103 являются одним и тем же числом. Тогда какой смысл менять одну форму на другую? С точки зрения корректности расчетов никакого смысла нет, а вот с точки зрения удобства проведения вычислений — безусловно есть. Целесообразно использовать такую форму экспоненциального выражения, когда неэкспоненциальная часть является числом от 1 до 10. В случае 32 × 102 неэкспоненциальная часть больше 10, в случае 0,32 × 104 неэкспоненциальная часть меньше 1. В случае 3,2 × 103 неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10, и это как раз та форма выражения, которая обычно используется.
Для чисел, меньших единицы, это правило также справедливо, за исключением деталей, касающихся экспоненциальной части. Например, рассмотрим число 0,0054. Его можно записать как 54 × 0,0001 или как 5,4 × 0,001. Каждое из этих выражений после перемножения даст один и тот же результат, 0,0054. В экспоненциальной форме это выглядит как 54 × 10-4, 5,4 × 10-3 или 0,54 × 10-2.
Эти выражения также эквивалентны. Как и в предыдущем примере, мы можем умножить 5,4 на 10, 10-3 разделить на 10. Деление 10-3 на 10 равноценно умножению на 10-1. Деление равноценно вычитанию одного показателя степени из другого (-3 - 1 = -4), то есть 10-3 разделить на 10 равно 10-3-1 или 10-4. Таким образом, мы превратили выражение 5,4 × 10-3 в 54 × 10-4, не изменив его величины.
При помощи аналогичных процедур мы можем превратить 5,4 × 10-3 в 0,54 × 10-2, не изменив его величины. Но на практике предпочтительнее использовать выражение 5,4 × 10-3, поскольку в этом случае неэкспоненциальная часть находится между 1 и 10.
К экспоненциальным числам применимы те же правила, как и к обычным числам.
В операциях сложения и вычитания участвуют только неэкспоненциальные составляющие чисел. Например, при сложении 2,3 × 104 и 4,2 × 104 получаем 6,5 × 104. (Проверьте это утверждение, преобразовав экспоненциальные выражения в неэкспоненциальные: 23 000 и 42 000. Сложив их, вы получите 65 000. Такую же операцию можно осуществить со всеми примерами, которые я привел в этой главе. Таким образом, вы не только научитесь обращаться с экспоненциальными выражениями, но и на практике сможете убедиться, что не обязательно верить всему, что вам говорят, даже если это «что-то» напечатано в типографии.)
Сумма чисел 8,7 × 104 и 3,9 × 104 равна 12,6 × 104. Ответ можно оставить в этом виде, хотя неэкспоненциальная часть больше 10. Можно также при помощи операций умножения—деления, описанных выше, привести выражение к более удобному виду: 1,26 × 105. Этот ответ такой же правильный, как и предыдущий.
А как поступать, когда у чисел различается экспоненциальная часть? Чему будет равна сумма 1,87 × 104 и 9 × 102? Для того чтобы провести сложение, потребуется привести оба числа к такому виду, когда обе экспоненциальные части одинаковы. Например, 1,87 × 104 можно преобразовать в 187 × 102. Тогда можно провести сложение: (9 × 102) + (187 × 102) = (9 + 187) × 102 = 196 × 102. Можно пойти другим путем и превратить 9 × 102 в 0,09 × 104, тогда получим (0,09 × 104) + (1,87 × 104) = (0,09 + 1,87) × 104 = 1,96 × 104.
Таким образом, мы получили два ответа: 196 × 102 и 1,96 × 104. Эти два выражения равноценны, но использовать предпочтительно второе.
С экспоненциальными числами также можно производить операции вычитания. На практике, однако, экспоненциальной формой редко пользуются при выполнении операций сложения и вычитания, поскольку удобнее складывать и вычитать обычные числа. А вот при операциях умножения и деления экспоненциальные числа незаменимы. Предположим, надо перемножить 6000 на 0,008. Это в общем-то нетрудно сделать в столбик:
В данном примере единственную трудность представляет операция с нулями. Нужно внимательно отследить положение десятичной запятой.
А теперь попробуем провести умножение, используя экспоненциальную форму выражения чисел. Переведем числа в экспоненциальную форму: 6000 = 6 × 104, 0,008 = 8 × 10-3. Перемножим эти числа: 6 × 104 × 8 × 10-3. 6 × 8 = 48; затем 104 × 10-3 = 101. (Складываем экспоненты 4 + (-3) = 1.) Получаем ответ: 48 × 101, или, в более удобной форме, 48 × 102, или в виде обычного числа 480.
Как мы видим, используя экспоненциальную форму, мы значительно упрощаем задачу умножения, особенно в том случае, когда имеем дело с очень большими и очень маленькими числами.
Предположим, надо решить такую задачу. Сколько атомов водорода содержалось бы в Земле, если бы она состояла только из этих атомов водорода.