Масса Земли равна
6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 грамм, а масса атома водорода — 0,00000000000000000000000166 грамма. Чтобы найти количество атомов водорода, надо массу Земли разделить на массу атома водорода, то есть разделить 6 000 000 000 000 000 000 000 000 000 на 0,00000000000000000000000166. Разумеется, вы можете проделать эту процедуру, если захотите, но, пожалуй, разумнее перейти к экспоненциальной форме.
При использовании экспоненциальных выражений задача сразу упрощается: (6 × 1027) : (1,66 × 10-24). Так же, как и в случае умножения, можно поделить одну неэкспоненциальную часть на другую. Таким образом, получаем частное 6 : 1,66 = 3,6 (приближенно, но достаточно для данной задачи), в то же время 1027: 10-24 = 1051). Таким образом, количество атомов водорода в Земле (если бы она состояла из одних атомов водорода и имела бы ту массу, которую имеет сейчас) равнялось бы 3,6 × 1051). Или в виде обычного числа
3 600 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
грамм, если бы просто перемножили два обычных числа, как это делали в предыдущих разделах.
Не представляет трудности также возведение в степень экспоненциальных выражений и извлечение из них корня. Так, (9 × 104)2 равно 92 × (104)2, что равно 81 × (104)2, или 81 × 108, или 8,1 × 109. Точно так же можно извлечь корень из (9 × 104). Корень квадратный из (9 × 104) равно √9 × √104 или 3 × 102.
Есть еще неясные моменты при использовании экспоненциальной формы записи чисел. Если мы имеем дело с числами с большим количеством нулей, все достаточно просто. Но предположим, что надо перемножить 6837 и 1822. Если мы запишем эти числа в экспоненциальной форме, то получим: 6,837 × 103 и 1,822 × 103. Перемножить экспоненциальные части несложно, а вот что делать с числами 6,837 и 1,822? Мы столкнулись с той же задачей, как и при перемножении больших чисел, с той только разницей, что надо следить за положением десятичного знака. Другими словами, нам нужно представить число в такой форме, чтобы неэкспоненциальная часть была как можно короче или равнялась 1. Поскольку речь идет о десятеричной системе, нам понадобятся десятичные экспоненты, которые мы обсуждали в конце седьмой главы.
Теперь давайте подробнее рассмотрим экспоненты на основе 10. Начнем с 100 = 1 и 101 = 10. А чему равны экспоненты между 0 и 1? Например, 100,5 = 10½ = √10, что приблизительно равно 3,162278. Таким же способом (но с большими сложностями) можно получить значение 10 в степени от 0 до 1. Эти величины подсчитаны и собраны в специальных справочниках в виде таблиц. В нашей книжке приведена краткая таблица значений числа 10, возведенного в различные степени.
Поскольку в данном случае основанием всегда является число 10, то в таблицах обычно приводятся только показатели степени, то есть экспоненты. Отдельно записанная экспонента называется логарифмом, значение экспоненциального выражения в виде обычного числа называется антилогарифмом. Например, в выражении 102 = 100 справедливы следующие обозначения:
2 — логарифм 100,
а 100 — антилогарифм 2.
Таблица, приведенная ниже, в которой приведены антилогарифмы для ряда логарифмов, называется таблицей антилогарифмов.
В таблице приведены приближенные значения антилогарифмов, да и невозможно привести точные значения, потому что они существуют только для таких чисел, как 100,0, 101,0 и так далее. Однако величину антилогарифма можно вычислить с такой точностью (то есть до такого десятичного знака), которая требуется в данном конкретном случае.
Если мы пойдем в обратном направлении, мы можем любое число от 1 до 10 представить как 10 в какой-то степени. Другими словами, для каждого числа при помощи соответствующих методик (которые мы не будем обсуждать в нашей книжке) можно вычислить эквивалентный логарифм.
Ниже приводится краткая таблица логарифмов для ряда обычных чисел. Подробные таблицы логарифмов, в которых можно найти логарифм для любого числа, содержатся в ряде справочников.
Таблицы логарифмов уже составлены, и никому больше не нужно заниматься самостоятельными подсчетами. Эта трудоемкая работа уже проделана. Единственное, что необходимо сделать теперь, — это найти нужное значение в таблице логарифмов. Возьмем наугад какое-нибудь число, например 3,2, и найдем по таблице, приведенной ниже, значение логарифма. Логарифм 3,2 равен 0,5051. Еще один пример из таблицы: логарифм 2,4 равен 0,3802. (Разумеется, это приближенные значения логарифмов.)