В нашей схеме совсем не нужно использовать странный термин «мнимое число», поскольку у нас все стороны света — реальны. Но у этого термина глубокие исторические корни, и теперь, пожалуй, поздновато менять название.
Теперь, используя «числа по компасу», мы можем создать свою собственную самодостаточную систему расчетов (создание такой эффективной системы — это цель многих математиков). Таблица умножения в нашей системе будет иметь такой вид:
И хотя наша таблица имеет довольно странный вид, у нее есть простое геометрическое толкование, которое представлено ниже на рисунках.
Я совсем не утверждаю, что только наша система справедлива, могут существовать и другие системы, в такой же мере справедливые и наглядные. Просто предложенная система удобна и используется.
Раз уж мы заговорили о севере, юге, западе и востоке, то следует вспомнить и о таких направлениях, как северо-запад, юго- восток и так далее. Поскольку результат умножения действительных чисел на мнимые никогда не будет ложиться ни на одну из осей (север—юг или восток—запад). А как обстоят дела со сложением, например, чему равна сумма 1 + i? Ученые-математики не удосужились предложить специальный символ для этого выражения, поэтому его оставляют в виде 1 + i, но в нашей системе координат его можно представить наглядно.Теперь, используя «числа по компасу», мы можем создать свою собственную самодостаточную систему расчетов (создание такой эффективной системы — это цель многих математиков). Таблица умножения в нашей системе будет иметь такой вид:
N = положительное действительное число, например +1.
Е = положительное мнимое число, например +i.
S = отрицательное действительное число, например —1.
W = отрицательное мнимое число, например —i.
Теперь давайте снова построим две оси, но вместо того, чтобы проставлять значения против каждого деления, на этот раз проведем через каждое деление новую линию.
Предположим, через каждое деление на вертикальной оси, то есть на оси действительных чисел, мы проводим горизонтальную линию. Проводим линию через деление +1, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно +1. Следующую горизонтальную линию проводим через +2, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно +2. Следующую горизонтальную линию проводим через -3, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно -3. Таких линий можно провести сколь угодно много.
Такую же процедуру можно осуществить и с горизонтальной осью, то есть с осью мнимых чисел. Через каждое деление на горизонтальной оси, то есть на оси мнимых чисел, мы проводим вертикальную линию. Так же, как и в прошлом случае на всей протяженности линии, проведенной через деление +1i, значение мнимого числа равно +1i; на всей протяженности линии, проведенной через деление +2i, значение мнимого числа равно +2i; а на всей протяженности линии, проведенной через деление -5i, значение мнимого числа равно -5i.
Теперь мы получили своеобразный шаблон шахматной доски, на котором для каждой линии, соответствующей мнимому числу, существует линия, соответствующая действительному числу, и наоборот, причем эти линии пересекаются.
Теперь мы сможем найти ответ на вопрос, чему равна сумма 1 + i. Число, соответствующее 1 + i, — это точка пересечения линий +1 и +i на нашем шаблоне. Поскольку расстояния между делениями на обеих осях одинаковы, 1 + i представляет собой число в направлении северо- восток. Точно так же и 2 + 2i, 3 + 3i, 4 + + 4i и так далее.
Число, подобное числу 1 - i, можно представить как +1 + (-i), и оно будет на нашем шаблоне представлять собой точку пересечения прямых +1 и -i, то есть в направлении северо-запад. Точно так же -1 + i — это юго-восток, а -1 - i — это юго-запад.
Другие направления можно представить такими числами, как 15 + 2i, -7 - 3i и так далее. По сути дела, каждая точка на нашем шаблоне (который, как вы уже догадались, можно расширять бесконечно) представляет собой какое-то число, которое является суммой действительного и мнимого числа. Более того, положение точки на шаблоне может соответствовать выражению, содержащему десятичную дробь или иррациональное число, например 9,54 + 0,015i, или 2√7 + -5√2i.